Una pequeña compañía fabrica dos tipos de bicicletas: de turismo y de competencia. Para la construcción de las bicicletas se requiere que pasen por tres departamentos: corte, armado y acabado. En el departamento de corte se dispone de 500 horas de mano de obra; en el de armado se dispone de 800 horas, y en el de acabado se dispone de 600 horas. Los requerimientos de producción por cada tipo de bicicleta son:
| • | La bicicleta de turismo tarda media hora en el departamento de corte; 2/3 de hora en el departamento de armado y 1/3 de hora en el departamento de acabado. |
| • | La bicicleta de competencia tarda hora y media en el departamento de corte; seis horas en el departamento de armado y cinco horas en el departamento de acabado. |
Si la utilidad por cada bicicleta según su tipo es de $40 000 y $150 000 respectivamente, ¿cuantas bicicletas se deben producir para que la utilidad sea máxima y de cuánto dinero es la utilidad?
Primero se definen las incógnitas:
La función objetivo:
Según la información del problema se tienen estas restricciones:
Escrito como desigualdad es:
Note que la recta de la función objetivo toca el vértice (900, 100/3).
Entonces, al reemplazar los vértices en la función objetivo obtendrá:
Por lo tanto, la producción que maximiza la ganancia es la de 900 bicicletas de turismo y 33 (por ser una variable discreta) de competencia. En dicho caso, la utilidad será de $41 000 000.
Una fábrica produce dos artículos. El primero genera una ganancia de 1.5 unidades monetarias por cada unidad, y el segundo genera dos unidades monetarias por unidad. Según los estudios de mercado y disponibilidad de recursos se tienen las siguientes limitaciones:
| • | La cantidad de artículos combinados debe ser hasta de 1200 unidades mensuales. |
| • | La cantidad de unidades del segundo artículo debe ser menor o igual a la mitad del primer artículo. |
| • | El nivel de producción del primer artículo es menor o igual a 600 unidades más tres veces el nivel de producción del segundo artículo. |
Así las cosas, ¿cuál es la producción que maximiza la ganancia?
Se definen las incógnitas:
La función objetivo:
Según la información del problema se tienen las restricciones:
Note que la recta de la función objetivo toca el vértice (800, 400).
Entonces, al reemplazar los vértices en la función objetivo obtendrá:
Por lo tanto, la producción que maximiza la ganancia es la de 800 artículos del primer tipo y 400 artículos del segundo tipo.
De acuerdo con el ejercicio tomado de Larson y Edwars (2002), una cooperativa agrícola mezcla dos marcas de alimento para el ganado. La primera marca cuesta 25 dólares por saco y contiene dos unidades del nutriente A, dos unidades del nutriente B y dos unidades del nutriente C. Por su parte, la segunda marca cuesta 20 dólares por saco y contiene una unidad del nutriente A, nueve unidades del nutriente B y tres unidades del nutriente C.
A partir de esta información, halle el número de sacos de cada marca que deben mezclarse para producir una mezcla que contenga un costo mínimo por saco. Los requerimientos mínimos de nutrientes A, B y C son 12, 36 y 24 unidades respectivamente.
Primero se definen las incógnitas:
La función objetivo es el costo:
Según la información del problema se tiene para las restricciones:
Entonces, el sistema de desigualdades es:
Note que la recta de la función objetivo toca el vértice (3, 6).
Entonces, al reemplazar los vértices en la función objetivo obtendrá:
Por lo tanto, el número de sacos que minimiza el costo y cumple con los requerimientos nutricionales es: tres sacos del alimento X y seis sacos del alimento Y.
De acuerdo al ejercicio propuesto por Jiménez (2006), un supermercado necesita dieciséis cajas de café, cinco de chocolate y veinte azúcar. Dos mayoristas pueden suministrarle los productos para satisfacer las necesidades del supermercado, pero solo venden los productos en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor ocho cajas de café, una de chocolate y dos de azúcar, mientras que el mayorista B envía en cada contenedor dos cajas de café, una de chocolate y siete de azúcar.
Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 km de distancia y el mayorista B, a 300 km, calcule cuántos contenedores deberá comprar el supermercado a cada mayorista para ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de envío de los productos.
La información del problema es:
Primero se definen las incógnitas:
La función objetivo se puede formular en términos del número de contenedores por cada mayorista, teniendo en cuenta la distancia a la que se encuentra cada uno de ellos para minimizar el costo:
Según la información del problema se tiene para las restricciones:
Note que la recta de la función objetivo toca el vértice (3, 2).
Entonces, al reemplazar los vértices en la función objetivo se obtiene:
Por lo tanto, el número de contenedores que minimiza el costo y cumple los requerimientos del supermercado es: tres contenedores del mayorista A y dos contenedores del mayorista B.