Cálculo de la solución particular por variación de parametros

Dado el sistema de ecuaciones X'=AX+G(t) de tamaño n×n, donde se conoce que la solución del sistema homogéneo X'=AX está dada por

con

un sistema fundamental de soluciones, entonces al definir la matriz Φ(t) de tamaño n×n donde la columna i-ésima es igual al vector X_i, podemos escribir la solución X_c como X_c=Φ(t)C, donde C es el vector columna compuesto por los coeficientes c₁, …, c_n, es decir

Está representación de la solución del sistema homogéneo, se realiza con el objetivo de generalizar el proceso de variación de parámetros visto en las primeras unidades, es decir que queremos encontrar una solución particular del sistema X_p a partir de reemplazar el vector numérico C por un vector de funciones C(t) en variable t y tomar X_p=Φ(t)C(t).

Si queremos que X_p sea una solución del sistema, entonces debe suceder que

pero X_p'=(Φ(t)C(t))'=Φ'(t)C(t)+Φ(t)C'(t), donde Φ'(t) y C'(t) son las derivadas componente a componente de las matrices Φ(t) y C(t), respectivamente.

Ahora bien, como Φ(t) es una solución del sistema homogéneo (tomando el vector de coeficientes C igual al vector con todas sus componentes igual a 1), entonces se cumple que Φ'(t)=AΦ(t), de donde

Así, reemplazando X_p=Φ(t)C(t) y la anterior expresión para X_p' en X_p'=AX_p+G(t), tenemos

donde

Si además tenemos en cuenta que los vectores X₁,X₂,…,X_n son linealmente independientes, es decir que su Wroskiano es diferente de cero para todo valor de t, entonces la matriz Φ(t) tiene inversa, que denotamos por Φ^-1 (t).

Así, al multiplicar por Φ^-1 (t) a la izquierda en Φ(t) C' (t)=G(t), llegamos a que