Ejemplo de variación de parámetros

Resolver la ecuación diferencial

Paso 1: Resolver la ecuación diferencial homogénea asociada

La ecuación diferencial homogénea asociada es:

Ecuación auxiliar:

Si factorizamos la ecuación:

y

Por tanto, que la solución complementaria

Paso 2: Formar los determinantes w, w₁, w₂

Recordemos que

Ahora de la solución complementaria

Identificamos a:

y

además:

y

y

Luego que los determinantes están dadas por:

Ahora si hacemos uso de la definición del seno hiperbólico tendremos

simplificamos:

Paso 3: Escribir u₁' y u₂'

Ahora tenemos que:

y

Con los resultados de la pestaña anterior tendremos:

Paso 4:Integrar para calcular u₁ y u₂

Vamos ahora a integrar

y

Iniciemos con u₁

Y ahora para u₂

Paso 5: Solución Particular y solución general

Recordemos que la solución particular tiene la forma:

Luego en este caso se tenga:

Al simplificar la solución particular y_p se tiene:

Asociando términos semejantes,

Y la solución general de la ecuación diferencial es: