Existen ecuaciones de primer orden de la forma
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(1) |
Ahora bien, específicamente diremos que una función f(x,y) es homogénea de grado t si para todo número real k diferente de cero se tiene que
y que una ecuación diferencial de la forma (1) es homogénea si f(x,y) es homogénea de grado 0.
En este caso, podemos observar que
Así, para resolver una ecuación diferencial homogénea realizamos el siguiente proceso:
| Tomamos |  |
que equivale a decir y=ux. |
Derivamos y=ux con respecto a la variable x obteniendo
Reemplazamos la anterior expresión en (1) para conseguir la ecuación
Que es una ecuación separable, pues se puede reescribir como
Resolver la ecuación
Claramente se tiene que
Por lo cual nuestra ecuación es homogénea. Así realizando la substitución y=ux, obtenemos la ecuación
Que en forma separable esta dada por
Integrando a ambos lados de tal ecuación llegamos a
| y substituyendo u por |  |
tenemos que la solución de la ecuación original esta dada por. |
Cabe mencionar que si una ecuación diferencial de la forma (1) es homogénea, entonces esta puede ser expresada de la forma
Donde tanto M(x,y) como N(x,y) tienen el mismo grado de homogeneidad.