Prueba de varianza

Esta prueba busca determinar si el valor esperado para la varianza del conjunto de datos tratado es de 1/12, El procedimiento es el siguiente:

  1. Plantear la hipótesis y definir el nivel de aceptación:

    Hipótesis de aceptación (nula) = {{H}_{0}}:~{{\sigma }^{2}}=1/12
    Hipótesis de rechazo (alternativa) = {{H}_{1}}:~{{\sigma }^{2}}\ne 1/12
    Nivel de aceptación= 1- a.

    En Excel el valor de \chi _{\alpha }^{2} se calcula con la expresión:“PRUEBA.CHI.INV(probabilidad;grados de libertad)”

  2. Realizar el cálculo matemático de la varianza \left( {{\sigma }^{2}} \right) de un conjunto con un total de N números pseudoaleatorios, el cual se realiza por la siguiente expresión:

    {{\sigma }^{2}}=~\frac{\mathop{\sum }_{i=1}^{N}{{\left( {{r}_{i}}-\bar{r} \right)}^{2}}}{N-1}

  3. Evaluar los límites de aceptación inferior (L{{I}_{{\bar{r}}}}) y superior (L{{S}_{{\bar{r}}}}):

    L{{I}_{{\bar{r}}}}=~\frac{\chi _{\alpha /2,~~N-1}^{2}}{12\left( N-1 \right)}

    L{{S}_{{\bar{r}}}}=~\frac{\chi _{1-\alpha /2,~~N-1}^{2}}{12\left( N-1 \right)}

    Donde \chi _{\alpha /2,~~N-1}^{2} es el estadístico que evalúa los límites de aceptación por medio de una distribución chi cuadrado, el cual es leído de las tablas estadísticas de distribución o calculado por herramientas de software.


    Figura 2. Lectura estadístico \chi _{\alpha ,\nu }^{2} de tabla de valores críticos de Chi-Cuadrada.


  4. La hipótesis es aceptada si el valor encontrado para {{\sigma }^{2}} está dentro de los límites de aceptación inferior y superior, con lo cual el conjunto de datos evaluados tendrán una varianza estadísticamente igual a 1/12, con un nivel de aceptación de 1-a.


Ejemplo: Para los números del conjunto {{r}_{i}} mostrados en la tabla 1 encuentre la varianza con un nivel de aceptación del 95%.


Solución

Varianza: N = 50 {{H}_{0}}:~{{\sigma }^{2}}=1/12 {{H}_{1}}:~{{\sigma }^{2}}\ne 1/12

El estadístico \chi _{\alpha }^{2} en este caso es leído del software Excel: \chi _{\alpha /2,~~N-1}^{2} = 70,2224


{{\sigma }^{2}}=~\frac{\mathop{\sum }_{i=1}^{N}{{\left( {{r}_{i}}-\bar{r} \right)}^{2}}}{N-1}=~\frac{1}{49}*\left\{ {{\left( 0,8797-0,5339 \right)}^{2}}+\ldots +{{\left( 0,0954-0,5339 \right)}^{2}} \right\}=0,0744

L{{I}_{{\bar{r}}}}=~\frac{\chi _{\alpha /2,~~N-1}^{2}}{12\left( N-1 \right)}=\frac{70,2224}{12\left( 50-1 \right)}=0,1194

L{{S}_{{\bar{r}}}}=~\frac{\chi _{1-\alpha /2,~~N-1}^{2}}{12\left( N-1 \right)}=~\frac{31,5549}{12\left( 50-1 \right)}=0,0537

Como el valor de la varianza {{\sigma }^{2}}=0,0744 se encuentra dentro de los límites de aceptación, se debe aceptar el conjunto de números especificado, los cuales tienen una varianza de 1/12.