Momento de Inercia en un área
El momento de inercia de un área se origina siempre que se relaciona el esfuerzo normal o fuerza por unidad de área, actuando sobre la sección transversal de una viga elástica por ejemplo.
El momento de inercia para áreas se puede expresar en términos del eje polar, lo cual corresponde al momento de inercia polar. Este equivalente a la adición de los momentos de inercia con relación a los ejes perpendiculares entre sí que interceptan el eje polar y además se encuentran en el plano. En el análisis de la resistencia de elementos estructurales bajo torsión, es de vital importancia utilizar el momento de inercia polar en las secciones transversales.
Ejemplo
En la siguiente figura se muestra una viga sometida a una fuerza F distribuida en cada diferencial de área de la sección transversal. El círculo tachado representa el diferencial de fuerza entrante en el plano.
El momento externo aplicado sobre esta genera una flexión y el esfuerzo al interior varía linealmente con su distancia desde un eje que pasa por el centroide C del área de la sección transversal de la viga, es decir,
y la magnitud de la fuerza que actúa sobre el elemento de área ΔA será.
la cual varía linealmente con la distancia (y) entre el elemento de área y un eje que pasa por el centroide.
Ahora bien, dado que la fuerza está a una distancia (y) del eje y, también el momento de ΔF respecto al eje (y) es:
donde, el momento total de toda la distribución de esfuerzos es igual al momento aplicado τ tal que:
de tal forma que la integral representa el momento de inercia o segundo momento del área con respecto al eje (x) y que se representa con Ix, que será siempre positivo. De igual forma, se obtiene el momento de inercia del área respecto el eje y.
Por lo tanto, los momentos de inercia del área respecto a los ejes xy son:
El método usado para evaluar dichas integrales sin dificultad es seleccionando una tira delgada de área dA paralela a alguno de los ejes coordenados. Es decir, que puede ser horizontal o vertical.
Ahora bien, si se quiere encontrar Ix se toma una tira delgada horizontal paralela al eje x como lo muestra la siguiente figura:
Por tanto:
Si lo que se quiere encontrar es Iy, se toma una tira delgada vertical, paralela al eje y como se muestra a continuación:
Por tanto:
