Vectores y sus aplicaciones

Los problemas de vectores se pueden solucionar de manera gráfica y analítica, considerando esta última de mayor exactitud. A continuación se soluciona tres problemas de manera diferente cada uno de ellos.

Problema 1

Un bloque de 700 kg se sostiene de dos cables, los cuales forman ángulos con el soporte superior de 35° y 55° (ver figura). Para mantener el objeto suspendido y en equilibrio, ¿cuál debe ser el valor de tensión para cada uno de los cables?

Inicialmente, se realiza un diagrama donde se identifiquen las fuerzas que actúan en el sistema.

El peso del objeto se define como la fuerza de atracción que ejerce la Tierra sobre este, así el valor en N será de:

El primer paso para solucionar este problema es identificar las fuerzas que actúan sobre el bloque. Dos de las tres fuerzas presentes son las tensiones de las cuerdas que se nombrarán como F₁ y F₂, la tercera fuerza corresponde a – F₃, igual al peso del bloque, tal como lo muestra la siguiente figura.

La fuerza resultante para este sistema se calcula mediante el método del polígono, donde se adicionan las fuerzas F₁, F₂ y F₃. Vector de fuerza resultante R.

Solución mediante el método analítico

Primero se calcula la F₃ que corresponde al peso del bloque de 700kg. Es decir, la fuerza de gravedad, se obtiene entonces lo siguiente:

Luego, se determina los componentes de las fuerzas F₁ y F₂ asociadas a las tensiones de las cuerdas.

Nótese que la componente en x de la fuerza F₂ es negativa, debido a que su proyección está dada sobre el semieje negativo de las x.

Como el sistema está en equilibrio la , esto hace que la fuerza, que se define en la segunda ley de Newton como el producto de la masa por la gravedad, sea igual a cero.

Por consiguiente, la sumatoria de los componentes tanto en x como en y debe ser igual a cero.

Despejando de la sumatoria de fuerzas en x ec. (1.), la fuerza F₁ se obtiene:

Reemplazando la ec. (3) en la ec. (2.) se tiene que:

De los términos a la izquierda, el factor común es F₂,

Por lo tanto F₂ es igual a:

Sustituyendo el valor de F₂ en la ec. (3.) se obtiene:

Con los valores de F₁ y F₂ se establecen los valores de las componentes tanto x como en y.

El vector de fuerza resultante R sería así:

La dirección θ del vector resultante es:

Y finalmente la magnitud de R es igual a:

Problema 2

Una armella enroscada a un bloque está sujeta mediante dos cuerdas, cuyas tensiones son F₁=20N y F₂=50N y sus direcciones son θ =22° y β=74° respectivamente. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante y su dirección?

El primer paso es trasladar los vectores a un plano cartesiano con sus respectivos valores de dirección θ y β, ver figuras, los cuales están ubicados en el primer cuadrante.

Por la ley del paralelogramo el vector resultante R, se muestra a continuación:

Método del triángulo

Para resolver este problema se utiliza el método del triángulo, donde se calcula primero el valor del vector resultante mediante la ley del coseno, como lo muestra la siguiente figura.

Luego, se calcula la raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad para obtener el valor de:

La dirección del vector resultante será entonces la suma de γ +22°, pero ¿cuánto vale ? Para calcular el valor de este ángulo se utiliza la ley de los senos:

Reemplazando por los siguientes valores:

Ahora se despeja obteniendo:

Calculando sin^-1 se tiene que el valor para γ es:

La dirección de la resultante R es igual a:

Problema 3

Un carro es halado por un par de personas usando dos cuerdas. Determinar la magnitud de las fuerzas F₁ y F₂, para obtener como resultante una fuerza de 14700N, si los ángulos son de θ = 38° y β= 30° .

Solución por medio de la ley del paralelogramo

Se utiliza la ley del paralelogramo para calcular las magnitudes F₁ y F₂, ver la siguiente figura:

En principio, se plantea la ley de los senos, así:

La magnitud de F₁ será igual a:

Ahora para F₂ se obtiene:

Las magnitudes para las fuerzas F₁ y F₂, son 9,76x10³N y 7,93x10³N, respectivamente.