Ejemplo 1 matriz de transición de dos pasos

Hallar la matriz de transición de dos pasos, se conoce la matriz de transición:

\left( \begin{matrix} 0.25 & 0.25 & 0.25 & 0.25 \\ 0.2 & 0.3 & 0.1 & 0.4 \\ 0.1 & 0.1 & 0.4 & 0.4 \\ 0.3 & 0.3 & 0.2 & 0.2 \\ \end{matrix} \right)=

Solución

Debido a que nos piden hallar la matriz de transición de dos pasos

\text{C}=\text{A}~\cdot ~\text{B = }\left( \begin{matrix} 0.25 & 0.25 & 0.25 & 0.25 \\ 0.2 & 0.3 & 0.1 & 0.4 \\ 0.1 & 0.1 & 0.4 & 0.4 \\ 0.3 & 0.3 & 0.2 & 0.2 \\ \end{matrix} \right)\begin{matrix} ~\cdot ~ \\ \end{matrix}\left( \begin{matrix} 0.25 & 0.25 & 0.25 & 0.25 \\ 0.2 & 0.3 & 0.1 & 0.4 \\ 0.1 & 0.1 & 0.4 & 0.4 \\ 0.3 & 0.3 & 0.2 & 0.2 \\ \end{matrix} \right)=
\left( \begin{matrix} 0.2125 & 0.2375 & 0.25 & 0.3125 \\ 0.24 & 0.27 & 0.2 & 0.29 \\ 0.205 & 0.215 & 0.275 & 0.305 \\ 0.215 & 0.245 & 0.225 & 0.315 \\ \end{matrix} \right)

Los componentes de la matriz C se calculan del modo siguiente:

C_1,1 = A_1,1 · B_1,1 + A_1,2 · B_2,1 + A_1,3 · B_3,1 + A_1,4 · B_4,1=

= (0.25) · (0.25) + (0.25) · (0.2) + (0.25) · (0.1) + (0.25) · (0.3) = (0.0625) + (0.05) + (0.025) + (0.075) = 0.2125

C_1,2 = A_1,1 · B_1,2 + A_1,2 · B_2,2 + A_1,3 · B_3,2 + A_1,4 · B_4,2=

= (0.25) · (0.25) + (0.25) · (0.3) + (0.25) · (0.1) + (0.25) · (0.3) = (0.0625) + (0.075) + (0.025) + (0.075) = 0.2375

C_1,3 = A_1,1 · B_1,3 + A_1,2 · B_2,3 + A_1,3 · B_3,3 + A_1,4 · B_4,3=

= (0.25) · (0.25) + (0.25) · (0.1) + (0.25) · (0.4) + (0.25) · (0.2) = (0.0625) + (0.025) + (0.1) + (0.05) = 0.2375

C_1,4 = A_1,1 · B_1,4 + A_1,2 · B_2,4 + A_1,3 · B_3,4 + A_1,4 · B_4,4=

= (0.25) · (0.25) + (0.25) · (0.4) + (0.25) · (0.4) + (0.25) · (0.2) = (0.0625) + (0.1) + (0.1) + (0.05) = 0.3125

C_2,1 = A_2,1 · B_1,1 + A_2,2 · B_2,1 + A_2,3 · B_3,1 + A_2,4 · B_4,1=

= (0.2) · (0.25) + (0.3) · (0.2) + (0.1) · (0.1) + (0.4) · (0.3) = (0.05) + (0.06) + (0.01) + (0.12) = 0.24

C_2,2 = A_2,1 · B_1,2 + A_2,2 · B_2,2 + A_2,3 · B_3,2 + A_2,4 · B_4,2=

= (0.2) · (0.25) + (0.3) · (0.3) + (0.1) · (0.1) + (0.4) · (0.3) = (0.05) + (0.09) + (0.01) + (0.12) = 0.27

C_2,3 = A_2,1 · B_1,3 + A_2,2 · B_2,3 + A_2,3 · B_3,3 + A_2,4 · B_4,3=

= (0.2) · (0.25) + (0.3) · (0.1) + (0.1) · (0.4) + (0.4) · (0.2) = (0.05) + (0.03) + (0.04) + (0.08) = 0.2

C_2,4 = A_2,1 · B_1,4 + A_2,2 · B_2,4 + A_2,3 · B_3,4 + A_2,4 · B_4,4=

= (0.2) · (0.25) + (0.3) · (0.4) + (0.1) · (0.4) + (0.4) · (0.2) = (0.05) + (0.12) + (0.04) + (0.08) = 0.29

C_3,1 = A_3,1 · B_1,1 + A_3,2 · B_2,1 + A_3,3 · B_3,1 + A_3,4 · B_4,1=

= (0.1) · (0.25) + (0.1) · (0.2) + (0.4) · (0.1) + (0.4) · (0.3) = (0.025) + (0.02) + (0.04) + (0.12) = 0.205

C_3,2 = A_3,1 · B_1,2 + A_3,2 · B_2,2 + A_3,3 · B_3,2 + A_3,4 · B_4,2=

= (0.1) · (0.25) + (0.1) · (0.3) + (0.4) · (0.1) + (0.4) · (0.3) = (0.025) + (0.03) + (0.04) + (0.12) = 0.215

C_3,3 = A_3,1 · B_1,3 + A_3,2 · B_2,3 + A_3,3 · B_3,3 + A_3,4 · B_4,3=

= (0.1) · (0.25) + (0.1) · (0.1) + (0.4) · (0.4) + (0.4) · (0.2) = (0.025) + (0.01) + (0.16) + (0.08) = 0.275

C_3,4 = A_3,1 · B_1,4 + A_3,2 · B_2,4 + A_3,3 · B_3,4 + A_3,4 · B_4,4=

= (0.1) · (0.25) + (0.1) · (0.4) + (0.4) · (0.4) + (0.4) · (0.2) = (0.025) + (0.04) + (0.16) + (0.08) = 0.305

C_4,1 = A_4,1 · B_1,1 + A_4,2 · B_2,1 + A_4,3 · B_3,1 + A_4,4 · B_4,1=

= (0.3) · (0.25) + (0.3) · (0.2) + (0.2) · (0.1) + (0.2) · (0.3) = (0.075) + (0.06) + (0.02) + (0.06) = 0.215

C_4,2 = A_4,1 · B_1,2 + A_4,2 · B_2,2+ A_4,3 · B_3,2 + A_4,4 · B_4,2=

= (0.3) · (0.25) + (0.3) · (0.3) + (0.2) · (0.1) + (0.2) · (0.3) = (0.075) + (0.09) + (0.02) + (0.06) = 0.245

C_4,3 = A_4,1 · B_1,3 + A_4,2 · B_2,3 + A_4,3 · B_3,3 + A_4,4 · B_4,3=

= (0.3) · (0.25) + (0.3) · (0.1) + (0.2) · (0.4) + (0.2) · (0.2) = (0.075) + (0.03) + (0.08) + (0.04) = 0.225

C_4,4 = A_4,1 · B_1,4 + A_4,2 · B_2,4 + A_4,3 · B_3,4 + A_4,4 · B_4,4=

= (0.3) · (0.25) + (0.3) · (0.4) + (0.2) · (0.4) + (0.2) · (0.2) = (0.075) + (0.12) + (0.08) + (0.04) = 0.315