Ejemplo de aplicación de un polinomio de cualquier grado
En general, el área exterior «A» del cuerpo de un ser humano se relaciona con su peso «W» y su altura «h». Midiendo a varios individuos con altura de 1.80 m se obtuvo la siguiente información:
| W «kg» | 70 | 75 | 77 | 80 | 82 | 84 | 87 | 90 |
| Área «m2» | 2.10 | 2.12 | 2.15 | 2.2 | 2.22 | 2.23 | 2.26 | 2.3 |
A partir de estos datos ajuste mediante un polinomio y calcule el área de un individuo que pese 89 kg.
Solución
En primer lugar se grafican los puntos para determinar su tendencia y establecer el polinomio que mejor se ajuste.
(Para ampliar la imagen haga clic sobre ella)
En este caso es razonable recurrir a un polinomio de grado tres, pues las funciones impares tienen forma de «s» y las pares tiene forma de «u».
Ahora se define la matriz «x»:
|
1 |
70 |
4900 |
343000 |
|
1 |
75 |
5625 |
421875 |
|
1 |
77 |
5929 |
456533 |
|
1 |
81 |
6561 |
531441 |
X= |
1 |
82 |
6724 |
551368 |
|
1 |
84 |
7056 |
592704 |
|
1 |
87 |
7569 |
658503 |
|
1 |
90 |
8100 |
729000 |
Entonces, la matriz «y» se determina por:
|
2.1 |
|
2.12 |
|
2.15 |
Y= |
2.2 |
|
2.22 |
|
2.23 |
|
2.26 |
|
2.3 |
Como el primer factor del modelo es (xt*x), se requiere la transpuesta de «x»:
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
70 |
75 |
77 |
81 |
82 |
84 |
87 |
90 |
XT= |
4900 |
5625 |
5929 |
6561 |
6724 |
7056 |
7569 |
8100 |
|
343000 |
421875 |
456533 |
531441 |
551368 |
592704 |
658503 |
729000 |
Por lo tanto:
|
8 |
646 |
52464 |
4284424 |
|
646 |
52 464 |
4 284 424 |
351749460 |
(XT*X)= |
52464 |
4 284 424 |
351 749 460 |
29025942496 |
|
4284424 |
351 749 460 |
29 025 942 496 |
2.40685E+12 |
Su inversa (xt*x)-1:
|
770 108.784 6 |
-29 054.784 7 |
363.890 683 1 |
-1.513 071 325 |
|
-29 054.784 79 |
1 096.745 117 |
-13.742 901 4 |
0.057 171 865 |
(XT*X)= |
363.890 683 1 |
-13.742 901 3 |
0.172 293 497 |
-0.000 717 113 |
|
-1.513 071 325 |
0.057 171 865 |
-0.000 717 11 |
2.986 21E-06 |
El segundo factor (xt*y):
|
17.58 |
XT*Y= |
1422.73 |
|
115 794.65 |
|
9 476 074.81 |
Y finalmente los coeficientes del polinomio están dados por:
15,68367543 |
a0 |
|
(XT*X)-1*(XT*Y)= |
-0,521352274 |
a1 |
0,006548966 |
a2 |
|
-2,67669E-05 |
a3 |
Entonces, el modelo del polinomio de grado tres queda así:
p(x)=15.6836754288+-0.52135227364*x+0.0065489659018*x2+-0.000026766907726*x3
Al observar la siguiente tabla, en la que se tabula el polinomio, queda claro que la estimación es muy similar a las observaciones, pero en ningún caso coincide:
x |
y |
p(x) |
70 |
2,1 |
2,097899843 |
75 |
2,12 |
2,127898906 |
77 |
2,15 |
2,148392505 |
81 |
2,2 |
2,196874336 |
82 |
2,22 |
2,209619335 |
84 |
2,23 |
2,234734569 |
87 |
2,26 |
2,269061494 |
90 |
2,3 |
2,295518873 |
En virtud de lo anterior, la gráfica de ajuste queda así:
(Para ampliar la imagen haga clic sobre ella)
Así las cosas, es claro que existe un buen ajuste con el polinomio escogido. Entonces, el área de un individuo de 89 kg es:
p(89)=15.6836754288+-0.52135227364*(89)+0.0065489659018*x(89)2+-0.000026766907726*(89)3
p(89)=2.28784180985411
p(89)=2.29