Prueba de hipótesis para la varianza

Si se extrae una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal con media µ y varianza σ², y se calcula la varianza muestral, se obtiene el valor del estadístico s² que se utilizará para conocer la σ², mediante una variable aleatoria chi cuadrada con “n-1” grados de libertad. Formalizando con el teorema: si s² es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño “n” que se toma de una población normal que tiene varianza σ², el estadístico es:

\chi ^{2} =\frac{\left(n-1\right)s^{2} }{\sigma ^{2} }

Tiene una distribución chi cuadrado con v=n-1 grados de libertad.

Por ejemplo:

Un fabricante de baterías garantiza que su producto dura en promedio 2,5 años con una desviación estándar de 0,8 años. Si se toma una muestra aleatoria de 8 baterías y resultó que \overline{x}=2,8 y s=1,2 ¿Con la evidencia tomada tiene razón el fabricante respecto a la desviación estándar poblacional?. Utilizando un nivel de significancia de 0,01, la hipótesis es:

{ { H }_{ 0 } }:{ \sigma }^{ 2 }=0,8
{ { H }_{ 1 } }:{ \sigma }^{ 2 }>0,8

Se calcula el estadístico:

\chi ^{2} =\frac{\left(8-1\right)*1,2^{2} }{0,8^{2} } ={\rm 15,75}

Para el nivel de significancia de 0,99 es necesario remitirse a la distribución chi cuadrado con v=8-1 = 7 grados de libertad. El valor crítico será:

x^{2} {1-\alpha }=18,475

Como el estadístico quedó dentro de la región de aceptación, con la evidencia tomada es posible aceptar la afirmación del fabricante.