Pruebas con respecto a la proporción en una población

La distribución muestral de proporciones es la adecuada para dar respuesta a estas situaciones, pues está basada en la aproximación de la distribución normal a la binomial. Esta fórmula servirá para calcular la probabilidad del comportamiento de la proporción en la muestra:

Z=\frac { p-\hat { P } }{ \sqrt { \frac { p\times q }{ n } } }

Donde:

p : proporción muestral

\hat { P } : proporción poblacional

q=1-p

n : tamaño de la muestra

Ejemplo

El alcalde de una ciudad asegura que el 45% de los habitantes posee gas natural. Para corroborar o desvirtuar dicha afirmación, un investigador toma una muestra aleatoria de 500 viviendas y encuentra que 200 lo tienen. Con esta evidencia, y utilizando un nivel de significancia de 0,01 ¿se puede demostrar que en la ciudad hay menos proporción de hogares con gas?

La formulación de la hipótesis:

{ { H }_{ 0 } }:\hat { P } =0,45
{ { H }_{ 1 } }:\hat { P } < 0,45

El valor crítico para el nivel de significancia:

{ Z }_{ \alpha }=-2.33

Y el estadístico:

\large Z=\frac { p-\hat { P } }{ \sqrt { \frac { p\times q }{ n } } } \rightarrow \frac { \frac { 200 }{ 500 } -0,45 }{ \sqrt { \frac { \frac { 200 }{ 500 } \ast \frac { 300 }{ 500 } }{ 500 } } } \cong -2,28

Como el estadístico quedó dentro la región de aceptación, se corrobora la afirmación del alcalde.