Pruebas con respecto a dos medias con varianzas poblacionales desconocidas, asumiendo que son diferentes

En muchas situaciones el investigador no puede suponer que \sigma _{1}^{2} \; =\; \sigma _{2}^{2} ; en tal caso, el estadístico es:

\large T=\frac{\left(\overline{x}_{1} -\overline{x}_{2} \right)-\left(\mu _{1} -\mu _{2} \right)}{\sqrt{\frac{s_{1}^{2} }{n_{1} } +\frac{s_{2}^{2} }{n_{2} } } }

Con distribución t para:

\LARGE v=\frac{\left(\frac{s_{1}^{2} }{n_{1} } +\frac{s_{2}^{2} }{n_{2} } \right)^{2} }{\frac{\left(\frac{s_{1}^{2} }{n_{1} } \right)^{2} }{n_{1} -1} +\frac{\left(\frac{s_{2}^{2} }{n_{2} } \right)^{2} }{n_{2} -1} }     grados de libertad

Ejemplo 1

Una compañía de taxis trata de decidir si comprar neumáticos de la marca A o de la B para su flotilla. Para estimar la diferencia de las dos marcas, se lleva a cabo un experimento utilizando 12 neumáticos de cada marca, conociendo que los neumáticos se utilizan hasta que se desgastan. Los resultados fueron:

Neumaticos A Neumaticos B
\overline{x}_{1} =36.300\; km \overline{x}_{2} =38.100\; km
n_{1} =12 n_{2} =12
s_{1}^{} =5.000\; km s_{2}^{} =8.500\; km

Con un nivel de significancia de 0,05 determinar si los neumáticos de la marca “B” duran más que los de la marca “A”, suponga poblaciones normales con varianzas diferentes.

La formulación de la hipótesis es:

{{H}_{0}}:{{\mu }_{2}}-{{\mu }_{1}}=0
{{H}_{1}}\ :{{\mu }_{2}}-{{\mu }_{1}}>0

El valor crítico para:

\large v=\frac{\left(\frac{5000^{2} }{12} +\frac{8500^{2} }{12} \right)^{2} }{\frac{\left(\frac{5000^{2} }{12} \right)^{2} }{12-1} +\frac{\left(\frac{8500^{2} }{12} \right)^{2} }{12-1} } ={\rm 17,79847307}\cong {\rm 18}

v= 18 grados de libertad es: t_{\alpha } =1,734

Y el estadístico es:

\large T=\frac{\left(\overline{x}_{1} -\overline{x}_{2} \right)-\left(\mu _{1} -\mu _{2} \right)}{\sqrt{\frac{s_{1}^{2} }{n_{1} } +\frac{s_{2}^{2} }{n_{2} } } } \to \frac{\left(38100-36300\right)-\left(0\right)}{\sqrt{\frac{8500^{2} }{12} +\frac{5000^{2} }{12} } } ={\rm 0,632}

Conclusión: como el estadígrafo dio menor que el valor crítico, se acepta la hipótesis nula. Con la evidencia tomada no hay razón para creer que los neumáticos “A” tienen mayor duración que la marca “B”.