Pruebas con respecto a dos medias con varianzas poblacionales desconocidas, asumiendo que son iguales

En la práctica, las varianzas poblacionales generalmente no se conocen; motivo por el cual si se tienen dos poblaciones que se comporten de forma aproximadamente normal, y se asume que la variabilidad entre ambos grupos es similar, se puede utilizar la prueba t combinada (prueba t de dos muestras), y el estadístico de prueba sería:

t=\frac { \left( { { \bar { x } }_{ 1 }-{ \bar { x } }_{ 2 } } \right) -\left( { \mu }_{ 1 }-{ \mu }_{ 2 } \right) }{ { S }_{ p }\times \sqrt { \frac { 1 }{ { n }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { n }_{ 2 } } } }

Donde:

{ S }_{ p }^{ 2 }=\frac { \left( { n }_{ 1 }-1 \right) { s }_{ 1 }^{ 2 }+\left( { n }_{ 2 }-1 \right) { s }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 }+{ n }_{ 2 }-2 }

v={ n }_{ 1 }+{ n }_{ 2 }-2 Grados de libertad

Ejemplo¹:

Los siguientes datos registrados en días, representan el tiempo de recuperación para pacientes que se tratan al azar con uno de los medicamentos para curar infecciones graves de la vejiga:

Medicamento 1	Medicamento 2
{ n }_{ 1 }=20 pacientes	{ n }_{ 2 }=22 pacientes
{ \bar { x } }_{ 1 }=17 días	{ \bar { x } }_{ 1 }=19 días
{ s }_{ 1 }^{ 2 }=1.5	{ s }_{ 2 }^{ 2 }=1.8

Con un nivel de significancia del 0,01 probar si el medicamento 1 es más eficiente que el 2. Suponga poblaciones normales con varianzas iguales.

La formulación de la hipótesis:

{{H}_{0}}:{{\mu }_{2}}-{{\mu }_{1}}=0
{{H}_{1}}\ :{{\mu }_{2}}-{{\mu }_{1}}>0

El valor crítico para v=20+22-2= 40 grados de libertad, α=0,05 es: { t }_{ 0,05 }=1,684

Para el cálculo del estadígrafo primero se determina la varianza muestral asociada:

{ S }_{ p }^{ 2 }=\frac { \left( 20-1 \right) 1,5+\left( 22-1 \right) 1,8 }{ 20+22-2 } =1,6575
{ S }_{ P }=1,28743932

Y el estadístico:

t=\frac{\left( {{\overline{x}}_{2}}-{{\overline{x}}_{1}} \right)-\left( {{\mu }_{2}}-{{\mu }_{1}} \right)}{{{S}_{p}}*\sqrt{\frac{1}{{{n}_{1}}}+\frac{1}{{{n}_{2}}}}} \\ t=\frac{\left( 19-17 \right)-\left( 0 \right)}{\text{1}\text{,28743932}*\sqrt{\frac{1}{20}+\frac{1}{22}}}\cong \text{5}\text{,03} \\

Conclusión: como el estadígrafo dio mayor que el valor critico, se rechaza la hipótesis nula; es decir, el medicamento 2 es más eficiente (funciona más rápidamente) que el medicamento 1.

Potencia de la prueba:

P=P\left( t>5,03 \right) =5,41249E-06\cong 5\quad por\quad cada\quad 1'000.000

Es decir, en 5 muestras de un millón, posibles con tamaños 20 y 22; se cumplirá la hipótesis nula.