Pruebas con respecto a dos medias con varianzas poblacionales conocidas

Es fácil comprender que la relación entre las pruebas de hipótesis e intervalos de confianza, las pruebas con respecto a dos medias, constituyen una herramienta muy importante para el ingeniero o científico, ya que permite comparar procesos. Si se tienen dos muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2, de dos poblaciones con medias {{\mu }_{1}}\ y\ {{\mu }_{2}} y varianzas \sigma _{1}^{2}\ y\ \sigma _{2}^{2} ; la variable aleatoria tiene una distribución normal estándar con n1 y n2 suficientemente grandes, el estadístico sería:

Z=\frac{\left( {{\overline{x}}_{1}}-{{\overline{x}}_{2}} \right)-\left( {{\mu }_{1}}-{{\mu }_{2}} \right)}{\sqrt{\left( \frac{\sigma _{1}^{2}}{{{n}_{1}}}+\frac{\sigma _{2}^{2}}{{{n}_{2}}} \right)}}

Ejemplo¹:

Un ingeniero químico está interesado en reducir el tiempo de secado de una pintura tapa poros. Se prueban dos fórmulas de pintura: la fórmula 1 tiene el contenido químico estándar, y la fórmula 2 tiene un nuevo ingrediente secante que debe reducir el tiempo de secado.

De la experiencia se sabe que la desviación estándar del tiempo de secado es de diez minutos, y esta variabilidad inherente no debe verse afectada por la adición del nuevo ingrediente. Se pintan diez especímenes con la fórmula 1, y quince con la fórmula 2. Los dos tiempos promedio de secado muéstrales son 121 min y 112 min respectivamente. ¿A qué conclusiones puede llegar el diseñador del producto sobre la eficacia del nuevo ingrediente, utilizando un nivel de significancia de 0,05?

La formulación de la hipótesis:

{{H}_{0}}:{{\mu }_{1}}-{{\mu }_{2}}=0
{{H}_{1}}\ :{{\mu }_{1}}-{{\mu }_{2}}>0

Es una prueba unilateral derecha puesto que se busca rechazar Ho si el nuevo ingrediente disminuye el tiempo promedio de secado; por eso se pone la diferencia mayor a cero, o sea positiva para poder probar que {{\mu }_{1}} es menor que {{\mu }_{2}}.

Seleccione sobre la imagen para ampliarla.

Según las observaciones se tiene:

Formula\ 1:
\overline{{{x}_{1}}}=\text{121}
{{\sigma }_{1}}=\text{10}
{{\text{n}}_{\text{1}}}=\text{10}
Formula\ 2:
\overline{{{x}_{2}}}=\text{112}
{{\sigma }_{2}}=\text{10}
{{\text{n}}_{\text{2}}}=\text{15}

Y en el estadístico:

Z=\frac{\left( 121-112 \right)-\left( 0 \right)}{\sqrt{\left( \frac{{{10}^{2}}}{10}+\frac{{{10}^{2}}}{15} \right)}}=\text{2,20}

Conclusión: como el estadístico dio mayor que el valor crítico con la evidencia tomada, se puede afirmar que el tiempo medio de secado es menor con la fórmula 2.

La potencia de la prueba daría:

P=P(Z>2,20)= 0,01374317\cong 1\%