Pruebas con respecto a una sola media con varianza poblacional desconocida

Si se tiene una variable aleatoria que representa una distribución normal con y desconocidas, entonces la variable aleatoria tiene una distribución t de student con n-1 grados de libertad. La estructura es igual que en el caso de las pruebas con respecto a una sola media con varianza poblacional conocida, excepto que el valor se reemplaza por la desviación estándar muestral s y la distribución normal estándar se sustituye con la distribución t. El estadístico a emplear es:

t=\frac{\overline{x}-\mu }{\frac{s}{\sqrt{n}}}

Si se formula una hipótesis bilateral, el gráfico será:

Por ejemplo:

Un fabricante de pinturas afirma que el tiempo medio de secado de uno de sus productos bajo ciertas condiciones de temperatura exterior y superficie a aplicar es de 2 horas. Para verificar o rechazar dicha afirmación se toma una muestra aleatoria de 10 especímenes bajo las condiciones que especifica el fabricante. Los resultados de los tiempos de secado en horas fueron:

2,3

2,5

3,2

1,8

1,9

3,2

2,8

2,5

2,6

1,7

Con un nivel de significancia de 0,05 de la evidencia tomada, ¿es posible afirmar que el tiempo de secado de la pintura es mayor?.

Nota: asumir que los tiempos de secado se comportan de forma aproximadamente normal.

La formulación de la hipótesis:

{{H}_{0}}=2\,horas
{{H}_{1}}>2\,horas

De la muestra se tiene:

\overline{x}=\text{2}\text{,45}
\text{s}=\text{0}\text{,535931173}
\text{n}=\text{10}

Los grados de libertad son:

v=n-1
v=10-1=9

El valor crítico en la t de student para los 9 grados de libertad será:

El estadígrafo de prueba sería:

t=\frac{2,45-2}{\frac{\text{0}\text{,535931173}}{\sqrt{10}}}=\text{2}\text{,66}

Como el estadístico es mayor que el valor crítico, es posible concluir que el tiempo medio de secado es mayor a 2 horas. La potencia de la prueba estará dada por:

P=P\left( t>2,66 \right)=\text{0}\text{,013124928}\cong 1

Que se puede interpretar como: en una de 100 muestras de tamaño 10 se cumplirá la hipótesis nula.