Pruebas con respecto a una sola media con varianza poblacional conocida

En este caso se trabajará la distribución normal y el estadígrafo que permitirá aceptar o rechazar la hipótesis nula; será:

Z=\frac{\overline{x}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}

Se establecerá según el tipo de prueba (unilateral o bilateral), un nivel de significancia. Si por ejemplo es unilateral derecha:

Por ejemplo:

La estatura promedio de los estudiantes varones en el primer semestre de cierta universidad es de 172 cm, con una desviación estándar de 9 cm, ¿Existe alguna razón para creer que hay algún cambio en la estatura promedio, si una muestra de 65 estudiantes en el grupo actual de primer semestre tiene una altura promedio de 175 cm? Utilizando un nivel de significancia de 0,05, la formulación de la hipótesis será:

{{H}_{0}}=172
{{H}_{1}}>172

El nivel de significancia: α=0,05

La región critica estará en:

Que, aplicando el estadígrafo:

Z=\frac{175-172}{\frac{7}{\sqrt{65}}}=\text{2}\text{,69}

Como el estadígrafo dio mayor, es posible concluir que con la evidencia tomada, el promedio de las estaturas de los estudiantes es mayor de 172 cm, la potencia de la prueba será : <

P=P\left( Z>2,69 \right)=0,0035726\cong 4/1000

, lo cual se representa gráficamente así:

Es decir, aproximadamente en 4 de 1000 muestras de tamaño 65, se aceptará la hipótesis nula.

O, por ejemplo:

La resistencia media a la rotura de una varilla de construcción es de 60000 P.S.I. con una desviación estándar de 1000 P.S.I. Para verificar la afirmación se toma una muestra aleatoria de 50 varillas que se fallan y se obtiene una media de 59000 P.S.I. Para probar la hipótesis de que la media de las varillas es de 60000 P.S.I. y usando un nivel de significancia de 0,01, la formulación de la hipótesis será:

{{H}_{0}}=60000\ P.S.I
{{H}_{1}}\ne 60000\ P.S.I

El nivel de significancia: α=0,01

La región crítica estará en:

Aplicando el estadígrafo:

Z=\frac{59000-60000}{\frac{1000}{\sqrt{50}}}=-\text{2}\text{,32}

Como el estadígrafo dio entre los límites, es posible concluir que con la evidencia tomada, el promedio de la resistencia a la rotura de las varillas no es diferente de 60000 P.S.I.