Estimación por intervalos para observaciones pareadas

En algunos experimentos comparativos simples puede conseguirse un mejoramiento significativo de la precisión, haciendo comparaciones de observaciones pareadas del material experimental; es decir, cuando las muestras no son independientes.

Por ejemplo, considere una compañía de taxis que trata de decidir si el uso de llantas radiales en lugar de llantas regulares con cinturón mejora la economía de combustible. Se equipan 16 automóviles con llantas radiales y se manejan por un recorrido de prueba establecido. Sin cambiar de conductores, se equipan los mismos autos con llantas regulares con cinturón y se manejan una vez más por el recorrido de prueba. Se registra el consumo de gasolina en kilómetros por litro, de la siguiente manera ¹:

Automóvil	Llantas radiales	Llantas con cinturón
1	4.2	4.1
2	4.7	4.9
3	6.6	6.2
4	7.0	6.9
5	6.7	6.8
6	4.5	4.4
7	5.7	5.7
8	6.0	5.8
9	7.4	6.9
10	4.9	4.9
11	6.1	6.0
12	5.2	4.9
13	5.7	5.3
14	6.9	6.5
15	6.8	7.1
16	4.9	4.8

Para determinar la diferencia en el consumo de gasolina en la población de llantas radiales y con cinturón se tendrá:

\bar { d } -{ t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\frac { { S }_{ D } }{ \sqrt { n } } <{ \mu }_{ D }<\bar { d } +{ t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\frac { { S }_{ D } }{ \sqrt { n } }

Donde:

{ \mu }_{ D }= media de las diferencias para la población en la economía de combustible

La notación de “D” es para recordar que la muestra pareada produce datos de diferencia. La media y la desviación estándar de la muestra está dada por:

\bar { d } =\frac { \sum _{ i=1 }^{ n }{ { d }_{ i } } }{ n } Media de las diferencias

{ S }_{ D }=\sqrt { \frac { \sum _{ i=1 }^{ n }{ { \left( { d }_{ i }-\bar { d } \right) }^{ 2 } } }{ n-1 } } Desviación estándar para la diferencia de medias.

Si se supone que la población tiene distribución normal, se puede aplicar la distribución “t” con n-1 grados de libertad.

Evaluando en este caso se tiene:

Automóvil	Llantas radiales	Llantas con cinturón	{ d }_{ i }	{ \left( { d }_{ i }-\bar { d } \right) }^{ 2 }
1	4.2	4.1	0,1	0,000976562
2	4.7	4.9	-0,2	0,109726563
3	6.6	6.2	0,4	0,072226562
4	7.0	6.9	0,1	0,000976563
5	6.7	6.8	-0,1	0,053476562
6	4.5	4.4	0,1	0,000976563
7	5.7	5.7	0	0,017226563
8	6.0	5.8	0,2	0,004726563
9	7.4	6.9	0,5	0,135976563
10	4.9	4.9	0	0,017226563
11	6.1	6.0	0,1	0,000976563
12	5.2	4.9	0,3	0,028476562
13	5.7	5.3	0,4	0,072226563
14	6.9	6.5	0,4	0,072226563
15	6.8	7.1	-0,3	0,185976563
16	4.9	4.8	0,1	0,000976562
Sumas			2,1	0,774375

\bar { d } =\frac { \sum _{ i=1 }^{ n }{ { d }_{ i } } }{ n } =\frac { 2.1 }{ 16 } =0.13125
{ S }_{ D }=\sqrt { \frac { \sum _{ i=1 }^{ n }{ { \left( { d }_{ i }-\bar { d } \right) }^{ 2 } } }{ n-1 } } =\sqrt { \frac { 0.477375 }{ 16-1 } } =0.2272

Entonces, el valor crítico para v=16-1=15 grados de libertad es:

{ t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }=2,131

Y la estimación es:

0,31-2,131\frac { 0,23 }{ \sqrt { 16 } } \textless{ \mu }_{ D }\textless0,13+2,131\frac { 0,23 }{ \sqrt { 16 } }
{ \mu }_{ D }\begin{cases} 0,13+0,25=0,38\quad L\'imite\quad superior \\ 0,13-0,25=-0,12\quad L\'imite\quad inferior \end{cases}

De acuerdo con el resultado, es posible afirmar que no existe diferencia en el consumo de gasolina por el hecho de usar llantas radiales con cinturón.