Estimación de la diferencia entre medias de dos distribuciones normales, varianzas desconocidas y diferentes
Para este caso se compararan dos grupos poblacionales en los cuales su variabilidad con respecto a la medias difiere. El estadístico que se usará es:
T=\frac { \left( \bar { { x }_{ 1 } } -\bar { { x }_{ 2 } } \right) -\left( { \mu }_{ 1 }-{ \mu }_{ 2 } \right) }{ \sqrt { \frac { { S }_{ 1 }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } +\frac { { S }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 2 } } } }Con grados de libertad:
v=\frac { { \left( \frac { { S }_{ 1 }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } +\frac { { S }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 2 } } \right) }^{ 2 } }{ \frac { { \left( \frac { { S }_{ 1 }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } \right) }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 }-1 } +\frac { { \left( \frac { { S }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 2 } } \right) }^{ 2 } }{ { n }_{ 2 }-1 } }Si se despeja del estadístico, la diferencia de medias poblacionales la estimación por intervalos estará dada por:
\left( \bar { { x }_{ 1 } } -\bar { { x }_{ 2 } } \right) -{ t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\sqrt { \frac { { S }_{ 1 }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } +\frac { { S }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 2 } } } <{ \mu }_{ 1 }-{ \mu }_{ 2 }<\left( \bar { { x }_{ 1 } } -\bar { { x }_{ 2 } } \right) +{ t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\sqrt { \frac { { S }_{ 1 }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } +\frac { { S }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 2 } } }Donde:
\bar { { x }_{ 1 } } -\bar { { x }_{ 2 } } = estimador puntual
{ t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\sqrt { \frac { { S }_{ 1 }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } +\frac { { S }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 2 } } } = error de estimación
Con:
v=\frac { { \left( \frac { { S }_{ 1 }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } +\frac { { S }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 2 } } \right) }^{ 2 } }{ \frac { { \left( \frac { { S }_{ 1 }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } \right) }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 }-1 } +\frac { { \left( \frac { { S }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 2 } } \right) }^{ 2 } }{ { n }_{ 2 }-1 } }Por ejemplo:
Una compañía de taxis debe decidir si comprar neumáticos de la marca A o de la B para su flotilla. Para estimar la diferencia de las dos marcas, se lleva a cabo un experimento utilizando 12 neumáticos de cada marca. Los neumáticos se utilizan hasta que se desgastan. Los resultados fueron1:
| Neumáticos A | Neumáticos B |
| \bar { { x }_{ 1 } } = 36.300 km | \bar { { x }_{ 2 } } = 38.100 km |
| { n }_{ 1 } = 12 | { n }_{ 2 } = 12 |
| { S }_{ 1 } = 0 5.000 km | { S }_{ 2 } = 8.500 km |
Se propone calcular un intervalo de confianza de 95% para la diferencia de medias poblacionales asumiendo que sus varianzas poblacionales son desconocidas y diferentes.
Entonces:
Los grados de libertad:
v=\frac { { \left( \frac { { 5000 }_{ }^{ 2 } }{ 12 } +\frac { 8500 }{ 12 } \right) }^{ 2 } }{ \frac { { \left( \frac { { 5000 }_{ }^{ 2 } }{ 12 } \right) }^{ 2 } }{ 12-1 } +\frac { { \left( \frac { { 8500 }_{ }^{ 2 } }{ 12 } \right) }^{ 2 } }{ 12-1 } } =17,79847307\cong 18El valor critico en la tabla t para estos grados de libertad es:
{ t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }=2,101Mientras que al calcular el intervalo de confianza se obtiene:
\left( \bar { { x }_{ 1 } } -\bar { { x }_{ 2 } } \right) -{ t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\sqrt { \frac { { S }_{ 1 }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } +\frac { { S }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 2 } } } <{ \mu }_{ 1 }-{ \mu }_{ 2 }<\left( \bar { { x }_{ 1 } } -\bar { { x }_{ 2 } } \right) +{ t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\sqrt { \frac { { S }_{ 1 }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } +\frac { { S }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 2 } } }Donde:
\bar { { x }_{ 1 } } -\bar { { x }_{ 2 } } =1.800 Estimador puntual
{ t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\sqrt { \frac { { S }_{ 1 }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } +\frac { { S }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 2 } } } = 5981,08858 Error de estimación
{ \mu }_{ 1 }-{ \mu }_{ 2 }\begin{cases} 1.800+5.981=7.781\quad L\'imite\quad superior \\ 1.800-5.981=-4.181\quad L\'imite\quad inferior \end{cases}Con el resultado obtenido se puede concluir que como en el intervalo está el cero, en la poblacion no hay diferencias entre la duración de los neumáticos. Esto ocurre cuándo el error de estimación es mayor que el estimador puntual.