Estimación de la diferencia entre medias de dos distribuciones normales, varianzas desconocidas pero iguales
En muchos experimentos es necesario comparar dos grupos poblacionales. Para tal efecto, si \bar { { x }_{ 1 } } ; \bar { { x }_{ 2 } } ; { S }_{ 1 }^{ 2 } y { S }_{ 2 }^{ 2 } son las medias y las varianzas de dos muestras aleatorias de tamaño { n }_{ 1 } y { n }_{ 2 } respectivamente, tomadas de dos poblaciones normales e independientes con varianzas desconocidas pero iguales; entonces un intervalo de confianza del 1-\alpha % para la diferencia entre medias es:
\left( \bar { { x }_{ 1 } } -\bar { { x }_{ 2 } } \right) -{ t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\times { S }_{ p }\sqrt { \frac { 1 }{ { n }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { n }_{ 2 } } } <{ \mu }_{ 1 }-{ \mu }_{ 2 }<\left( \bar { { x }_{ 1 } } -\bar { { x }_{ 2 } } \right) +{ t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\times { S }_{ p }\sqrt { \frac { 1 }{ { n }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { n }_{ 2 } } }Donde:
\bar { { x }_{ 1 } } -\bar { { x }_{ 2 } } = estimador puntual
{ t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\times { S }_{ p }\sqrt { \frac { 1 }{ { n }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { n }_{ 2 } } }con:
{ S }_{ P }^{ 2 }=\frac { ({ n }_{ 1 }-1){ S }_{ 1 }^{ 2 }+({ n }_{ 2 }-1){ S }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 }+{ n }_{ 2 }-2 }v={ n }_{ 1 }+{ n }_{ 2 }-2 grados de libertad
Por ejemplo:
Un experimento publicado en una revista científica compara las economías en combustible para dos tipos de camiones compactos a diésel con similares características. Se utilizaron 12 camiones Nissan y 10 Toyota en pruebas a velocidad constante , si los camiones Nissan promediaron 16 km/litro, con una desviación estándar de 1 km/litro y los Toyota promediaron 11 km/litro, con una desviación estándar de 0,8 km/litro , construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre los kilómetros promedio de estos dos camiones compactos .Suponga que las distancias por litro para cada modelo de camión están distribuidas de forma aproximadamente con varianzas iguales[1] (Walpole, Myers, Myers, & Keying, 2007).
Solución:
| Nissan | Toyota |
| \bar { { x }_{ 1 } } = 16 | \bar { { x }_{ 2 } }= 11 |
| n = 12 | n = 10 |
| { S }_{ 1 } = 1 | { S }_{ 2 } = 0,8 |
Para establecer el valor critico en el intervalo de confianza dado calculamos los grados de libertad.
v={ n }_{ 1 }+{ n }_{ 2 }-2 grados de libertad
v=12+10-2=20En la tabla el valor crítico es:
{ t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } } = 2,086La varianza muestral asociada:
{ S }_{ P }^{ 2 }=\frac { ({ n }_{ 1 }-1){ S }_{ 1 }^{ 2 }+({ n }_{ 2 }-1){ S }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 }+{ n }_{ 2 }-2 } { S }_{ P }^{ 2 }=\frac { (12-1){ 1 }_{ }^{ 2 }+(10-1)0,8_{ }^{ 2 } }{ 20 } { S }_{ P }^{ 2 }=0,838 { S }_{ }^{ 2 }=0,915423399El intervalo de confianza
\left( \bar { { x }_{ 1 } } -\bar { { x }_{ 2 } } \right) -{ t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\times { S }_{ p }\sqrt { \frac { 1 }{ { n }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { n }_{ 2 } } } <{ \mu }_{ 1 }-{ \mu }_{ 2 }<\left( \bar { { x }_{ 1 } } -\bar { { x }_{ 2 } } \right) +{ t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\times { S }_{ p }\sqrt { \frac { 1 }{ { n }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { n }_{ 2 } } }
\left( 16-11 \right) -2,086\times 0,9154\sqrt { \frac { 1 }{ 12 } +\frac { 1 }{ 10 } } <{ \mu }_{ 1 }-{ \mu }_{ 2 }<\left( 16-11 \right) +2,086\times 0,9154\sqrt { \frac { 1 }{ 12 } +\frac { 1 }{ 10 } }
Donde:
\bar { { x }_{ 1 } } -\bar { { x }_{ 2 } } =5\quad Estimador\quad puntual{ t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\times { S }_{ p }\sqrt { \frac { 1 }{ { n }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { n }_{ 2 } } } =0,82 Error de estimación
{ \mu }_{ 1 }-{ \mu }_{ 2 }\begin{cases} 5+0,82=5,82\cong 6\quad L\'imite\quad superior \\ 5-0,82=4,18\cong 4\quad L\'imite\quad inferior \end{cases}La diferencia de consumo entre los camiones Nissan y Toyota estará entre 4 y 6 kilómetros por litro, a favor de Toyota, ya que resulta más económico.