Estimación de la proporción en una población

Muchos experimentos o encuestas tienen como propósito estimar las proporciones poblacionales a partir de datos muéstrales. De la misma manera que en la estimación de medias para muestras grandes, conociendo la desviación estándar poblacional para un intervalo de confianza con la distribución normal, la estimación por intervalos está dada por:

Z=\frac { p-\hat { P } }{ \sqrt { \frac { p\times q }{ n } } } estadístico para calcular la probabilidad del comportamiento de la proporción en la muestra.

p{ -Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\times \sqrt { \frac { p\times q }{ n } } <\hat { P } <p+{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\times \sqrt { \frac { p\times q }{ n } }

Donde:

p = proporción muestral (estimador puntual)

q = 1-p
{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\times \sqrt { \frac { p\times q }{ n } } =error de estimación

\hat { P } =proporción poblacional

Por ejemplo:

En cierta cuidad se selecciona una muestra aleatoria de 500 votantes y se encuentra que 180 aprueban la gestión del alcalde. Se solicita encontrar el intervalo de confianza del 96% para la fracción de la población votante que favorece la gestión del alcalde, y de otra parte, determinar cuál debe ser el tamaño de la muestra para que el error de estimación sea del 2%.

Entonces:

\frac { 180 }{ 500 } -2,05\times \sqrt { \frac { \frac { 180 }{ 500 } \times \frac { 320 }{ 500 } }{ 500 } } <\hat { P } <\frac { 180 }{ 500 } +2,05\times \sqrt { \frac { \frac { 180 }{ 500 } \times \frac { 320 }{ 500 } }{ 500 } }

Donde:

p = proporción muestral (estimador puntual) = 0,36

q=1-p = 0,64

Error de estimación = 0,04

\hat { P } \begin{cases} 0,36+0,04=0,40\cong 40 \% \quad L\'imite\quad superior \\ 0,36-0,04=0,32\cong 32 \% \quad L\'imite\quad inferior \end{cases}

Por lo tanto, la aprobación del alcalde entre la población votante estará entre el 40 y el 32%

El tamaño de muestra dado el error de estimación será:

n={ \left( \frac { { Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } } }{ ee } \right) }^{ 2 }\times p\times q

Evaluando:

n={ \left( \frac { 2,05 }{ 0,02 } \right) }^{ 2 }\times 0,36\times 0,64
n=2420,64\cong 2421

Es decir, se necesita consultar a 2421 personas para que el error de estimación sea del 2%.