Estimación de la media para muestras pequeñas

En la mayoría de las situaciones no es fácil acceder a la desviación estándar poblacional, motivo por el cual si tomamos evidencia y calculamos el promedio y la desviación estándar muestral (s) de una población que se comporte de forma aproximadamente normal entonces la variable aleatoria:

T=\frac { \bar { x } -\mu }{ \frac { s }{ \sqrt { n } } }

Tiene una distribución t de Student con n-1 grados de libertad.

"La apariencia general de la distribución t es similar a la de la distribución normal estándar: ambas son simétricas y unimodales, y el valor máximo de la ordenada se alcanza en la media \mu =0 Sin embargo, la distribución t tiene colas más amplias que la normal; esto es, la probabilidad de las colas es mayor que en la distribución normal. A medida que el número de grados de libertad tiende a infinito, la forma límite de la distribución t es la distribución normal estándar"[1] . (De la Torre, 2003)

De manera similar que con la normal podemos construir un intervalo de confianza así:

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\frac { \alpha }{ 2 }
{ -t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }
{ t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }
P\left( { -t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } } \textless T \textless{ t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } } \right) =1-\alpha

Reemplazando el estadístico

P\left( { -t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }<\frac { \bar { x } -\mu }{ \frac { s }{ \sqrt { n } } } <{ t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } } \right) =1-\alpha

Despejando µ

\bar { x } { -t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\frac { s }{ \sqrt { n } } <\mu <\bar { x } +{ t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\frac { s }{ \sqrt { n } }

Donde:

\bar { x } = estimador puntual

{ t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\frac { s }{ \sqrt { n } }= error de estimación

Por ejemplo:

En cierta obra, para recibir a satisfacción una placa de entrepiso, la interventoría tomó muestras del concreto y al fallarlas obtuvo los siguientes datos de resistencia a la comprensión:

xi
3200
3800
2800
3500
2900
3000
3700
2600
3500
3300
2600
2500
3200
2900
3150
2700
3600

Ahora, se propone encontrar un intervalo de confianza del 95% para la resistencia media de toda la placa. Además la interventoría establece que si el límite inferior de la estimación está por debajo de 3000 P.S.I., se tendrá que demoler la placa.

Entonces:

Se calcula la media aritmética y la desviación estándar muestral:

\bar { x } = 3114,705882 s = 409,1777983 n = 17

Los valores críticos para un intervalo de confianza del 95% con v=17-1 =16 grados de libertad serán:

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{ t }_{ 0,025 }=-2,120
{ t }_{ 0,975 }=-2,120

La estimación por intervalos será:

\mu \begin{cases} 3114,71+210,39=3325,10\cong 3325\quad L\'imite\quad superior \\ 3114,71-210,39=2904,32\cong 2904\quad L\'imite\quad inferior \end{cases}

Por lo tanto según los resultados obtenidos es necesario demoler la placa.