Estimación de la media para muestras grandes

Si se considera la estimación por intervalos para la media a partir de una muestra aleatoria grande, donde se conoce la desviación estándar poblacional, el cálculo de la probabilidad está dado por:

Z=\frac { \bar { x } -\mu }{ \frac { \sigma }{ \sqrt { n } } }

Como el parámetro µ es el que se necesita para un intervalo de confianza:

Se puede expresar así:

P\left( -{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } } < Z<{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } } \right) =1-\alpha

Reemplazando el estadístico “Z”

P\left( -{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }<\frac { \bar { x } -\mu }{ \frac { \sigma }{ \sqrt { n } } }<{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } } \right) =1-\alpha

Despejando µ:

\bar { x } -{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\frac { \sigma }{ \sqrt { n } } <\mu <\bar { x } +{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\frac { \sigma }{ \sqrt { n } }

Donde:

\bar { x }=

Estimador puntual

{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\frac { \sigma }{ \sqrt { n } } =

Error de estimación

Ejemplo:

Si se toma una muestra aleatoria de 45 focos que tienen duración aproximadamente distribuida de forma normal, con una desviación estándar de 50 horas, y se obtiene una duración promedio de 830 horas. Encontrar en un intervalo de confianza del 95% y el 99%, para la media de todas las bombillas que produce la empresa, ¿de qué tamaño debe ser la muestra para que el error de estimación sea de 10 horas en un intervalo de confianza del 95%?

Entonces, para el primer intervalo de confianza (95%) se tendrá en la distribución normal:

Datos:

σ=50horas n=45 \bar { x }=830 µ=? 830-1,96\frac { 50 }{ \sqrt { 45 } } < \mu < 830+1,96\frac { 50 }{ \sqrt { 45 } }

Donde:

\bar { x }=830(estimador puntual) 2,57 50/√45=19,16(error de estimación) \mu \begin{cases} 830+19,16=849,16\cong 849\quad L\'imite\quad superior \\ 830-19,16=810,84\cong 811\quad L\'imite\quad inferior \end{cases}

El tamaño de muestra para un error dado:

ee={ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\frac { \sigma }{ \sqrt { n } }

Donde:

ee=error de estimación

Despejando “n”:

n={ \left( \frac { { Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\times \sigma }{ ee } \right) }^{ 2 }

Y evaluando:

n={ \left( \frac { 1,96\times 50 }{ 10 } \right) }^{ 2 }=96,04\cong 96