Estimación por intervalos para la varianza

Para este caso se usara la distribución chi cuadrado que no es simétrica, por lo tanto, los valores críticos son diferentes, por ejemplo, para 24 grados de libertad con un intervalo de confianza de 95% sus valores son :

El intervalo de confianza esta dado por :

{\frac{(n-1)s^2}{{\chi }^2_{1-{\alpha }/{2}}}<\sigma }^2<\frac{(n-1)s^2}{{\chi }^2_{{\alpha }/{2}}}

Los siguientes son los pesos, en decagramos, de 10 paquetes de semillas de pasto distribuidas por cierta compañía: 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2 y 46. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la varianza de todos los paquetes de semillas de pasto que distribuye esta compañía, suponga una población normal.¹

Solución:

Primero se calcula la desviación estándar de la muestra:

s=\sqrt { \frac { \sum { { \left( { x }_{ i }-\bar { x } \right) }^{ 2 } } }{ n-1 } } =\sqrt { \frac { { \left( 46.4-46.12 \right) }^{ 2 }+{ \left( 46.4-46.12 \right) }^{ 2 }+...+{ \left( 46.4-46.12 \right) }^{ 2 } }{ 10-1 } } =0.5347

al elevar este resultado al cuadrado se obtiene la varianza de la muestra:

{ s }^{ 2 }=0.286.

Para obtener un intervalo de confianza de 95% se elige un:

\alpha = 0.05.

Después con el uso de la tabla con 9 grados de libertad se obtienen los valores de X².

Se puede observar en la gráfica anterior que el valor de X2 corre en forma normal, esto es de izquierda a derecha.

Por lo tanto, el intervalo de confianza de 95% para la varianza es:

{ \sigma }^{ 2 }max\quad =\quad \frac { \left( 10-1 \right) \left( 0.286 \right) }{ 2.7 } =0.953

{ \sigma }^{ 2 }min\quad =\quad \frac { \left( 10-1 \right) \left( 0.286 \right) }{ 19.023 } =0.135

Se observa que la varianza corre en sentido contrario, pero esto es sólo en la gráfica. La interpretación quedaría similar a nuestros temas anteriores referentes a estimación. Con un nivel de confianza del 95% se sabe que la varianza de la población de los pesos de los paquetes de semillas de pasto esta entre 0.135 y 0.935 decagramos al cuadrado.