La varianza σ

Dada la variable aleatoria discreta x con una distribución de probabilidad P(x) y valor esperado μ , la varianza de x se define como:

\sigma }^{ 2 }=E\left[ { (x-\mu ) }^{ 2 } \right] =\sum { { \left( x-\mu \right) }^{ 2 }P(x)

Así, tanto la varianza \sigma }^{ 2 } como la desviación estándar σ describen la variabilidad o dispersión de la variable aleatoria x, por medio de las desviaciones cuadráticas de los valores de x a partir del valor promedio μ .

Una empresa textil interesada en los avances de la nanotecnología ha decidido implementar en una de sus líneas de producción las nanopartículas, esto con el fin de ofrecer a sus clientes telas con una mayor resistencia a la abrasión y menor lavado. La función de las nanopartículas es generar sobre la superficie textil una estructura fina, la cual evita que las moléculas de agua u otra sustancia ingresen a las fibras.

El revolucionario avance cuestiona al gerente sobre cuál será la demanda para el día de hoy con relación a este tipo de telas. Pues bien, él decide revisar la distribución de probabilidad para x, la demanda diaria de las telas con nanopartículas y encuentra lo siguiente:

X (ton)	0	1	2	3	4	5
P(x)	0.10	0.40	0.20	0.15	0.3	0.6

¿Cuál es el promedio, la varianza y la desviación estándar de x?, ¿Es probable que 10 o más clientes quieran comprar el día de hoy telas antimanchas?.

\mu =E(x)=\sum { xP(x) }

=(0)(0.10)+(1)(0.40)+(2)(0.20)+(3)(0.15)+(4)(0.3)+(5)(0.6)=5.45

En promedio se compran 5.45 toneladas de tela durante la semana.

x	P(x)	xP(x)	\left( x-\mu \right) }^{ 2 }	\left( x-\mu \right) }^{ 2 }P(x)
0	0.10	0.00	29.70	2.97
1	0.40	0.40	19.80	7.92
2	0.20	0.40	11.90	2.38
3	0.15	0.45	6.00	0.9
4	0.3	1.2	2.10	0.63
5	0.6	3	0.20	0.12

\sigma }^{ 2 }=14.92

\mu =5.45

\sigma }^{ 2 }=E(x)=\sum { { (x-\mu ) }^{ 2 } }P(X)=

(2.97)(0.1)+(7.92)(0.4)+(2.38)(0.2)+(0.9)(0.15)+(0.63)(0.3)+(0.12)(0.6)

=14.9

La desviación estándar corresponde a:

\sigma =\sqrt { { \sigma }^{ 2 } } =\sqrt { 14.92 } =3.86

Utilizando el teorema de Tchebysheff se establece que a dos desviaciones estándar de la media se encuentran el 75% de las mediciones, específicamente para un intervalo entre -2.27 a 13.17:

\mu \pm 2\sigma \rightarrow 5.45\pm 2(3.86)

De este resultado, se puede decir que es probable que 10 o más clientes realicen un pedido de este tipo de tela.