Calcular probabilidades a posteriori

Sea un espacio muestral S con k particiones, A₁, A₂, ... , A_k mutuamente excluyentes y exhaustivas. Cada una de estas corresponde a un evento o subpoblación con una probabilidad a priori P(A₁ ), P(A₂),..., P(A_k ) no nula, tal que A_1\cup A_2\cup ,\ \dots ,\cup \ A_k=S . Si ocurre un evento , se establece que la probabilidad a posteriori de A₁ dada la ocurrencia de B es:

P\left(A_i\mathrel{\left|\vphantom{A_i B}\right.\kern-\nulldelimiterspace}B\right)=\frac{P\left(A_i\right)P(B|A_i)}{\sum^k_{j=1}{P\left(A_j\right)P(B|A_j)}}

Con i=1,\ 2,\ 3,\dots ,\ k

Prueba:

Partiendo de la probabilidad condicional:

P\left(A_i\mathrel{\left|\vphantom{A_i B}\right.\kern-\nulldelimiterspace}B\right)=\frac{P(B\cap A_i)}{P(B)} (1)

El siguiente paso es establecer para el denominador la regla de la multiplicación, tal que:

P\left(B\cap A_i\right)=P\left(B\mathrel{\left|\vphantom{B A_i}\right.\kern-\nulldelimiterspace}A_i\right)P(A_i)

Sustituyendo en la ec. 1., se obtiene que:

P\left(A_i\mathrel{\left|\vphantom{A_i B}\right.\kern-\nulldelimiterspace}B\right)=\frac{P\left(B\cap A_i\right)}{P(B)}=\frac{P\left(B\mathrel{\left|\vphantom{B A_i}\right.\kern-\nulldelimiterspace}A_i\right)P(A_i)}{P(B)} (2)

En la ec. 2 se utiliza la regla aditiva para cambiar en el denominador $P(B)$, así que:

P\left(B\right)=P\left(B\mathrel{\left|\vphantom{B A_1}\right.\kern-\nulldelimiterspace}A_1\right)P\left(A_1\right)+P\left(B\mathrel{\left|\vphantom{B A_2}\right.\kern-\nulldelimiterspace}A_2\right)P\left(A_2\right)+\dots +P\left(B\mathrel{\left|\vphantom{B A_n}\right.\kern-\nulldelimiterspace}A_n\right)P\left(A_n\right)}

=\sum^k_{j=1}{P\left(A_j\right)P(B|A_j)

P\left(A_i\mathrel{\left|\vphantom{A_i B}\right.\kern-\nulldelimiterspace}B\right)=\frac{P\left(B\mathrel{\left|\vphantom{B A_j}\right.\kern-\nulldelimiterspace}A_j\right)P(A_j)}{P(B)}