Ejemplo del teorema de Tchebysheff

En el año 2012, el Banco de la República de Colombia pone en circulación una nueva familia de monedas. La de $1.000 es una aleación de cobre, níquel y zinc, bimetálica con núcleo plateado y corona dorada. En la cara lleva la tortuga caguama, especie marina en peligro de extinción por la caza y la contaminación. El diámetro promedio de esta moneda es de 26,70 mm y suponiendo que su desviación estándar sea de 0.01 mm, mediante el teorema de Tchebysheff:

  1. ¿Cuál es el menor valor de k para monedas con diámetros entre 26,68 y 26,72? De un lote de 500 ¿a cuánto corresponde?.
  2. Qué porcentaje de las medidas corresponde para diámetros comprendidos entre 26,649mm y 26,751mm?.

    3. Suponiendo que las medidas presentan una comportamiento simétrico, entonces:

  3. ¿Qué porcentaje de las mediciones se ubica entre 26,68 y 26,71?.

Solución

  1. Se hace una sustracción con el valor promedio tanto del límite inferior como del superior y luego se divide entre la desviación estándar, así:

  2. \frac { 26,68-26,70 }{ 0,01 } =-\frac { 0,02 }{ 0,01 } =-2\quad \rightarrow 2 desviaciones estándar S a la izquierda de la media x̄

    \frac { 26,72-26,70 }{ 0,01 } =\frac { 0,02 }{ 0,01 } =2\quad \rightarrow 2 desviaciones estándar S a la derecha de la media x̄

    El teorema de Tchebysheff dice que al menos \left[ 1-\left( \frac { 1 }{ 2^{ 2 } } \right) \right] =\frac { 3 }{ 4 } de los datos se encuentra en ese intervalo, es decir, un porcentaje del 75%.

    De la muestra de 500 monedas corresponde entonces a 375.

  3. En el intervalo de 26,649mm - 26,751mm, se realiza el mismo proceso anterior, hallar el valor de k tal que:

    \frac { 26,649-26,70 }{ 0,01 } =-\frac { 0,051 }{ 0,01 } =-5,1

    \frac { 26,751-26,70 }{ 0,01 } =-\frac { 0,051 }{ 0,01 } =5,1

    4. Por lo tanto, como no se tiene información si la distribución de datos es sesgada o simétrica se puede seguir utilizando el teorema, así si k=5,1 entonces existe un porcentaje de mediciones en ese intervalo de aproximadamente el 96%.

  4. En el caso que la distribución sea simétrica, estilo campana la regla empírica es muy útil. Por consiguiente, se calcula el valor de k:

    \frac { 26,68-26,70 }{ 0,01 } =-\frac { 0,02 }{ 0,01 } =-2

    \frac { 26,71-26,70 }{ 0,01 } =-\frac { 0,01 }{ 0,01 } =1

    Cuando k=1 en la regla empírica el porcentaje es del 68%, mientras que para k=2 es del 95%. En este caso en donde el valor de k es diferente, se realiza un promedio entre los porcentajes dando como resultado para este intervalo del 81,5%.