Teoremas 11, 12 y 13

Teorema 11. Definición de integral definida

Sea f una función definida en el intervalo cerrado [a, b] y existe el límite:

Entonces f es integrable en [a, b] y el límite anterior lo podemos escribir o denotar como:

Que no es otra cosa que la integral definida de f(x) entre a y b, donde a es el límite inferior y b es el límite superior.

Teorema 12

Si una función f es continua en el intervalo [a, b], entonces f es integrable en [a, b].

Teorema 13

Si f es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a, b], el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales x=a y x=b viene dada por:

Ejemplo de aplicación de los Teoremas 11 y 12

Calcular la integral definida ∫₀² 4x dx

Solución

La función f(x) = 4x es integrable en el intervalo [0, 2], por ser continua. Si usamos cualquier partición cuya norma tienda a cero, podemos calcular el límite respectivo. Si definimos ∆ dividiendo el intervalo [0, 2] en n subintervalos de igual longitud, tenemos:

Eligiendo como c_i el punto terminal derecho de cada subintervalo, tenemos:

De donde definimos la integral como:

Ejemplo de aplicación Teorema 13

Considérese la región acotada por la curva f(x) = 4x - x² y el eje de las x. Al ser f continua y no negativa en [0, 4] entonces el área de la región es: