Ejemplo de cercha en voladizo con 5 elementos y 4 nodos

Se tiene una cercha como la mostrada en la imagen.

(Para ampliar la imagen haga clic sobre ella)

Los miembros A, C y E son barras de acero circulares de diámetro 0.5 in (E=30 x 10⁶ psi).

Los miembros B y D son barras de aluminio circulares de diámetro 0.4 in (E=11 x 10⁶ psi).

Resumen de las coordenadas

Número del nodo	Coordenada x (in)	Coordenada y (in)
1	12.0	0.0
2	12.0	6.0
3	0.0	0.0
4	0.0	10.0

Hallar la matriz de rigidez, el vector de fuerzas y el vector de desplazamientos.

Desarrollo

Si se define las barras de diámetro 0.5 in y 0.4 in con los índices 1 y 2 respectivamente, los datos del elemento se pueden resumir como:

Número del elemento	Nodo i	Nodo j	Índice del material
1	1	2	1
2	3	1	2
3	3	2	1
4	4	2	2
5	3	4	1

Rigidez del elemento en coordenadas locales. Matriz de rigidez Ke’ para el elemento 3.

{{A}^{\left( 3 \right)}}=\frac{\pi {{D}^{2}}}{4}=\frac{\pi {{\left( 0.5 \right)}^{2}}}{4}=0.196~i{{n}^{2}};
{{E}^{\left( 3 \right)}}=30~x{{10}^{6}}~psi;
{{L}^{\left( 3 \right)}}=\sqrt{{{\left( 0-12 \right)}^{2}}+{{\left( 0-6 \right)}^{2}}}=13.42~in

Reemplazando los valores se obtiene la matriz de rigidez en coordenadas locales del elemento 3:

{{K}^{{{\left( 3 \right)}^{'}}}}={{10}^{3}}\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 438 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \vdots \\ \vdots \\ \end{matrix} & \begin{matrix} -438 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots & \cdots \\ \end{matrix} & \vdots & \begin{matrix} \cdots & \cdots \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} -438 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \vdots \\ \vdots \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 438 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right]lbf/in

Para estimar la matriz de rigidez global del elemento 3, se calculan los cosenos directores:

Reemplazando y realizando las operaciones correspondientes:

Si aplicamos el mismo procedimiento para los elementos 1, 2, 4 y 5, se obtiene el siguiente resultado:

Ensamblaje de la matriz -K⁽¹⁾, -K⁽²⁾, -K⁽³⁾, -K⁽⁴⁾ y -K⁽⁵⁾.

Aplicación de la carga

Aplicación de las restricciones

Está restringido en el nodo 3 y 4. Para el nodo 3 se tiene u₃=0. Para el nodo 4 se tiene u₄ y v₄=0. Por tanto, se eliminan estas posiciones en las respectivas filas y columnas de la matriz de rigidez ensamblada K^a, resultando una matriz de 5x5.

{{K}^{a}}={{10}^{3}}\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 115 & 0 & 0 \\ 0 & 982 & 0 \\ 0 & 0 & 449 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ -982 \\ 143 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ -176 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & -982 & 143 \\ \end{matrix} & 1081 & -88 \\ \begin{matrix} 0~~~~~ & 0 & -176 \\ \end{matrix} & -88 & 677 \\ \end{matrix} \right]\frac{lbf}{in}

De manera queda similar, se eliminan las filas correspondientes a las posiciones con valor “0” del vector de fuerzas F^a.

{{F}^{a}}=\left[ \begin{matrix} -1000 \\ \begin{matrix} -1732 \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \\ 0 \\ \end{matrix} \right]

Solución de los desplazamientos en los nodos, usando el método de la matriz inversa:

a={{k}^{-1}}f
a=\left[ \begin{matrix} -0.00868 \\ \begin{matrix} -0.03528 \\ +0.00996 \\ -0.03351 \\ \end{matrix} \\ -0.00176 \\ \end{matrix} \right]in~~~~\begin{matrix} {{u}_{1}} \\ \begin{matrix} {{v}_{1}} \\ {{u}_{2}} \\ {{v}_{2}} \\ \end{matrix} \\ {{v}_{3}} \\ \end{matrix}

Resultado en los elementos

Elementos 3

La deformación unitaria es:

{{\varepsilon }^{\left( 3 \right)}}=\frac{{{\delta }^{\left( 3 \right)}}}{{{L}^{\left( 3 \right)}}}=\frac{-0.00529~in}{13.42~in}=-394x{{10}^{-6}}in/in

Los esfuerzos son:

{{\sigma }^{\left( 3 \right)}}={{\varepsilon }^{\left( 3 \right)}}E=\left( -394x{{10}^{-6}} \right)\left( 30x{{10}^{6}} \right)=-11800~psi

La fuerza es:

{{F}^{\left( 3 \right)}}={{\sigma }^{\left( 3 \right)}}A=\left( -11800 \right)\left( 0.193 \right)=2320~lb~~\left( compresi\acute{o}n \right)