Introducción al método de los elementos finitos: elementos lineales

De la mecánica de materiales se tiene la ecuación de la elongación (\delta), donde \text{L} es la longitud del elemento, \text{P} es la fuerza axial, \text{A} es el Área de la sección transversal y \text{E} corresponde al Módulo de Elasticidad del Material. Además, \text{A} es constante (las secciones son generalmente prismáticas) y \text{E} es constante si el material se encuentra en el rango elástico (Stasa, 1985).

\delta =\frac{PL}{AE}

Con esta ecuación se puede obtener la expresión de la Rigidez del Elemento en coordenadas locales, resolviendo para \text{P} (es decir, U{{\acute{\ }}_{i}}) en el nodo \text{i}.

U{{\acute{\ }}_{i}}=\frac{AE}{L}\left( u{{\acute{\ }}_{i}}-u{{\acute{\ }}_{j}} \right)

De manera similar para el nodo \text{j} se llega a:

U{{\acute{\ }}_{j}}=\frac{AE}{L}\left( u{{\acute{\ }}_{j}}-u{{\acute{\ }}_{i}} \right)

Además, se tiene que al soportar únicamente carga axial:

U{{\acute{\ }}_{i}}=-U{{\acute{\ }}_{j}}

Y el desplazamiento transversal es nulo:

V{{\acute{\ }}_{i}}=0;~~~~~~V{{\acute{\ }}_{j}}=0

Acomodando de forma matricial las expresiones anteriores se llega a (Stasa, 1985):

\frac{AE}{L}\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} +1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \cdots & \cdots \\ \end{matrix}\begin{matrix} ~~~~\vdots & -1 & 0 \\ ~~~~\vdots & 0 & 0 \\ ~~~~\cdots & \cdots & \cdots \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix}\begin{matrix} ~~~~\vdots & +1 & 0 \\ ~~~~\vdots & 0 & 0 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} u{{\acute{\ }}_{i}} \\ v{{\acute{\ }}_{i}} \\ \begin{matrix} \ldots \\ \begin{matrix} u{{\acute{\ }}_{j}} \\ v{{\acute{\ }}_{j}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} U{{\acute{\ }}_{i}} \\ V{{\acute{\ }}_{i}} \\ \begin{matrix} \ldots \\ \begin{matrix} U{{\acute{\ }}_{j}} \\ V{{\acute{\ }}_{j}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right]

Considerando que las coordenadas globales de los nodos son nombradas como \left( {{\text{x}}_{\text{i}}},{{\text{y}}_{\text{i}}} \right), \left( {{\text{x}}_{\text{j}}},{{\text{y}}_{\text{j}}} \right), la longitud del elemento se puede calcular como:

L=\sqrt{{{\left( {{x}_{i}}-{{x}_{j}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{i}}-{{y}_{j}} \right)}^{2}}}

Reescribiendo y usando la siguiente notación, donde el súper índice e significa que corresponde al elemento, el símbolo prima (‘) indica que está en coordenadas locales y, además:

{{K}^{e\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}} : Matriz de rigidez del elemento en coordenadas locales.
{{a}^{e\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}} : Vector de desplazamientos nodales del elemento en coordenadas locales.
{{f}^{e\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}} : Vector de fuerzas nodales del elemento en coordenadas locales.

{{K}^{{{e}'}}}{{a}^{{{e}'}}}={{f}^{{{e}'}}}

Realizando la transformación de coordenadas locales a coordenadas globales se tiene (Stasa, 1985):

Consideraciones

Matriz de Rigidez Derivada en coordenadas locales \left( \text{x}\acute{\ },\text{y}\acute{\ } \right) (x´,y´).
El eje \text{x}\acute{\ } se dirige del nodo \text{i} al nodo \text{j}.

Se desea transformar o “escribir” la matriz de rigidez en términos del sistema de coordenadas globales, por tanto, se propone:

Dibujar un vector de posición \mathbf{r}.
Escribirlo en función de componentes cartesianas {{\text{r}}_{\text{x}}} y {{\text{r}}_{\text{y}}}:~\mathbf{r}={{\text{r}}_{\text{x}}}\mathbf{i}+{{\text{r}}_{\text{y}}}\mathbf{j}

Ahora se propone:

Escribir el vector r en un sistemas de coordenadas rotado \text{x}\acute{\ },\text{y}\acute{\ } \mathbf{r}=\text{r}{{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}_{\text{x}}}\mathbf{i}'+\text{r}{{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}_{\text{y}}}\mathbf{j}'
Por tanto: {{\text{r}}_{\text{x}}}\mathbf{i}+{{\text{r}}_{\text{y}}}\mathbf{j}=\text{r}{{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}_{\text{x}}}\mathbf{i}'+\text{r}{{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}_{\text{y}}}\mathbf{j}'

Tomando producto punto respecto a i: {{\text{r}}_{\text{x}}}=\text{r}{{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}_{\text{x}}}\mathbf{i}*\mathbf{i}'+\text{r}{{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}_{\text{y}}}\mathbf{i}*\mathbf{j}' \mathbf{i}\text{*}\mathbf{i}\text{ }\!\!'\!\!\text{ } representa el coseno del ángulo entre el eje \text{x} y el eje \text{x}\acute{\ }. De igual forma \mathbf{i}\text{*j }\!\!'\!\!\text{ } representa el coseno del ángulo entre el eje \text{x} y el eje \text{y}\acute{\ }, introduciendo la notación:

{{\text{n}}_{11}}=\cos \left( \text{x},\text{{x}'} \right)=\text{i*{i}'};\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{n}}_{12}}=\cos \left( \text{x},\text{{y}'} \right)=\text{i*{j}'}

Donde el primer subíndice está asociado al eje del sistema de coordenadas globales {{\text{r}}_{\text{x}}} se puede reescribir como:

{{\text{r}}_{\text{x}}}={{\text{n}}_{11}}\text{r}{{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}_{\text{x}}}+{{\text{n}}_{12}}\text{r}{{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}_{\text{y}}}

Realizando el mismo procedimiento anterior, pero tomando producto punto respecto a \text{j}:

{{\text{r}}_{\text{y}}}={{\text{n}}_{21}}\text{r}{{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}_{\text{x}}}+{{\text{n}}_{22}}\text{r}{{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}_{\text{y}}}

Se puede expresar de forma matricial como:

\left[ \begin{matrix} {{r}_{x}} \\ {{r}_{y}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{\text{n}}_{11}} & {{\text{n}}_{12}} \\ {{\text{n}}_{21}} & {{\text{n}}_{22}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} \text{r}{{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}_{\text{x}}} \\ \text{r}{{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}_{\text{y}}} \\ \end{matrix} \right]

O usando notación como:

\text{r}=\text{Tr }\!\!'\!\!\text{ }

Donde \text{T} es la Matriz de transformación.

Como \text{T} es una matriz ortogonal (es decir, {{\text{T}}^{-1}}={{\text{T}}^{\text{T}}})

\text{r }\!\!'\!\!\text{ }={{\text{T}}^{T}}r

El vector de fuerzas en los nodos expresado en coordenadas locales se puede calcular como:

{{f}^{{{e}'}}}=R{{f}^{e}}

{{\text{f}}^{\text{e}}}: Vector de fuerzas nodales del elemento en coordenadas Locales:

{{f}^{e}}={{\left[ \begin{matrix} {{U}_{i}} & {{V}_{i}} \\ \end{matrix}~~\vdots ~~~\begin{matrix} {{U}_{j}} & {{V}_{j}} \\ \end{matrix} \right]}^{T}}

{{\text{f}}^{\text{e}}} se puede reescribir como:

{{K}^{{{e}'}}}{{a}^{{{e}'}}}={{f}^{{{e}'}}}
{{a}^{{{e}'}}}=R{{a}^{e}}
{{f}^{{{e}'}}}=R{{f}^{e}}

Por tanto:

{{K}^{{{e}'}}}R{{a}^{e}}=R{{f}^{e}}

Pre-multiplicando por {{R}^{T}}:

{{R}^{T}}{{K}^{{{e}'}}}R{{a}^{e}}={{f}^{e}}

Donde {{K}^{e}} es la Rigidez del elemento referida en coordenadas globales.

Finalmente se puede llegar a que:

{{K}^{e}}=\frac{AE}{L}\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} +{{\text{n}}^{2}}_{11} & +{{\text{n}}_{21}}{{\text{n}}_{11}} \\ +{{\text{n}}_{11}}{{\text{n}}_{21}} & +{{\text{n}}^{2}}_{21} \\ \cdots & \cdots \\ \end{matrix}\begin{matrix} \vdots & -{{\text{n}}^{2}}_{11} & -{{\text{n}}_{21}}{{\text{n}}_{11}} \\ \vdots & -{{\text{n}}_{11}}{{\text{n}}_{21}} & -{{\text{n}}^{2}}_{21} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} -{{\text{n}}^{2}}_{11} & -{{\text{n}}_{21}}{{\text{n}}_{11}} \\ -{{\text{n}}_{11}}{{\text{n}}_{21}} & -{{\text{n}}^{2}}_{21} \\ \end{matrix}\begin{matrix} \vdots & +{{\text{n}}^{2}}_{11} & +{{\text{n}}_{21}}{{\text{n}}_{11}} \\ \vdots & +{{\text{n}}_{11}}{{\text{n}}_{21}} & +{{\text{n}}^{2}}_{21} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right]

Adicionalmente, solo dos cosenos directores aparecen:

{{\text{n}}_{11}} es el coseno del Ángulo entre el eje \text{x} y el eje \text{x}\acute{\ } {{\text{n}}_{11}}=cos{{\theta }_{x}}=\frac{{{\text{x}}_{\text{j}}}-{{\text{x}}_{\text{i}}}}{L}
{{\text{n}}_{21}} es el coseno del Ángulo entre el eje \text{y} y el eje \text{y}\acute{\ } {{\text{n}}_{21}}=cos{{\theta }_{y}}=\frac{{{\text{y}}_{\text{j}}}-{{\text{y}}_{\text{i}}}}{L}

Ahora bien, para ensamblar el efecto de cada elemento se usa el Principio de Compatibilidad (Stasa, 1985).

Principio de compatibilidad

Los desplazamientos en x y y asociados a un nodo en particular de cualquier elemento son idénticos a los asociados para el mismo nodo de los elementos que comparte dicho nodo.

Elemento tiene 2 nodos (\text{I}, \text{J}).

Cada nodo tiene 2 grados de libertad.

La matriz de rigidez global es de tamaño 4x4:

{{K}^{e}}=\left[ \begin{matrix} K_{ii}^{e} & \vdots & K_{ij}^{e} \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ K_{ji}^{e} & \vdots & K_{jj}^{e} \\ \end{matrix} \right]

Donde \text{K}_{\text{ii}}^{\text{e}}, \text{K}_{\text{ij}}^{\text{e}}, \text{K}_{\text{ji}}^{\text{e}}, \text{K}_{\text{jj}}^{\text{e}} son matrices 2 x 2 donde el nodo global \text{I} corresponde al nodo local \text{I} y el nodo local \text{J} corresponde al nodo local \text{J}, se puede reescribir como:

{{K}^{e}}=\left[ \begin{matrix} K_{I,I}^{e} & K_{I,J}^{e} \\ \ldots & \ldots \\ K_{J,I}^{e} & K_{J,J}^{e} \\ \end{matrix} \right]

La matriz ensamblada es:

{{K}^{a}}=\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} K_{1,1}^{a} & K_{1,2}^{a} & K_{1,3}^{a} \\ K_{2,1}^{a} & K_{2,2}^{a} & K_{2,3}^{a} \\ K_{3,1}^{a} & K_{3,2}^{a} & K_{3,3}^{a} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \\ \cdots \\ \end{matrix} & \begin{matrix} K_{1,N}^{a} \\ K_{2,N}^{a} \\ K_{3,N}^{a} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots ~~~~~~~ & \vdots ~~~ & ~~~\vdots \\ \end{matrix} & \ddots & \vdots \\ \begin{matrix} K_{N,1}^{a} & K_{N,2}^{a} & K_{N,3}^{a} \\ \end{matrix} & \cdots & K_{N,N}^{a} \\ \end{matrix} \right]

El superíndice a: Significa Ensamblada.

Cada matriz \text{K}_{\text{I},\text{J}}^{\text{a}} son matrices 2 x 2.
La sub-matriz global de rigidez individual de cada elemento (es decir, \text{K}_{\text{I},\text{J}}^{\text{e}}) es adicionada a la correspondiente posición de la matriz {{\text{K}}^{\text{a}}} (es decir, en \text{K}_{\text{I},\text{J}}^{\text{a}})).
Por tanto, la sub-matriz ensamblada \text{K}_{\text{I},\text{J}}^{\text{a}} (2 x 2) se calcula como: K_{I,J}^{a}=\underset{e=1}{\overset{M}{\mathop \sum }}\,K_{I,J}^{e}.

M es el número de elementos de la cercha y \text{K}_{\text{I},\text{J}}^{\text{e}} es una matriz nula 2 x 2 si el elemento e no tiene nodos \text{I} y \text{J}.