Ejemplo de diagramas de momentos y cortante por el método de los cortes

El siguiente ejemplo muestra cada uno de los pasos aplicados para una viga de una sola luz, sometida a una carga puntual, un momento puntual y una carga distribuida.

Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga de la imagen:

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Solución:

  1. Diagrama de cuerpo libre

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  2. Aplicar las ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones
    \begin{matrix} \left( + \right) \\ \circlearrowleft \\ \end{matrix}\sum {{M}_{A}}=0;

    \text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-\left( 2\frac{\text{kN}}{\text{m}}\text{* }\!\!~\!\!\text{ }1.0\text{ }\!\!~\!\!\text{ m} \right)*0.5~m-4\frac{kN}{m}*1.0m-1~kN*m~+{{D}_{y}}\left( 3.0~m \right)=0;

    {{D}_{y}}=2~kN

    {{A}_{y}}=4~kN~\uparrow ;~~~~{{D}_{x}}=0

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  3. Definir el número de cortes

    Fuerzas internas

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    Corte 1

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    Corte 2

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    Corte 3

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  4. Aplicar las ecuaciones de equilibrio para el 1er corte

    \uparrow \left( + \right)\sum {{F}_{y}}=0;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4-2\text{x}-\text{V}=0;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ V}=4-2\text{x}

    \begin{matrix} \left( + \right) \\ \circlearrowleft \\ \end{matrix}\sum {{M}_{1}}=0;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-4\text{x}+2\text{x}\left( \frac{1}{2}x \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }+\text{M}=0;

    \text{M}=4\text{x}-{{x}^{2}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }

    Tenemos dos ecuaciones, una para V y otra para M que son válidas entre 0 ≤ x ≤ 1

  5. Aplicar las ecuaciones de equilibrio para el 2do corte

    \uparrow \left( + \right)\sum {{F}_{y}}=0;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4-2-4-\text{V}=0;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ V}=-2\text{ }\!\!~\!\!\text{ kN}

    \begin{matrix} \left( + \right) \\ \circlearrowleft \\ \end{matrix}\sum {{M}_{2}}=0;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-4\text{x}+2\left( x-0.5 \right)+4\left( x-1 \right)-1+\text{M}=0;

    \text{M}=\left( 6-2\text{x} \right)\text{kN}-\text{m}

    Tenemos dos ecuaciones, una para V y otra para M que son válidas entre 1 ≤ x ≤ 2

  6. Aplicar las ecuaciones de equilibrio para el 3er corte

    \uparrow \left( + \right)\sum {{F}_{y}}=0;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4-2-4-\text{V}=0;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ V}=-2\text{ }\!\!~\!\!\text{ kN}

    \begin{matrix} \left( + \right) \\ \circlearrowleft \\ \end{matrix}\sum {{M}_{2}}=0;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-4\text{x}+2\left( x-0.5 \right)+4\left( x-1 \right)+\text{M}=0;

    \text{M}=\left( 5-2\text{x} \right)\text{kN}-\text{m}

    Tenemos dos ecuaciones, una para V y otra para M que son válidas entre 2 ≤ x ≤ 3

  7. Calcular los valores de fuerza cortante y momento flector en los límites de cada ecuación
    Ecuación Rango Límite inferior Límite superior
    \text{V}=4-2\text{x} 0\le x\le 1 V\left( x=0 \right)=4~kN V\left( x=1 \right)=2~kN
    \text{M}=4\text{x}-{{x}^{2}} =0~kN-m M\left( x=1 \right)=3~kN-m
    \text{V}=-2\text{ }\!\!~\!\!\text{ kN} 1\le x\le 2 V\left( 1 \right)=-2\text{ }\!\!~\!\!\text{ kN} V\left( 2 \right)=-2\text{ }\!\!~\!\!\text{ kN}
    \text{M}=\left( 5-2\text{x} \right)\text{kN}-\text{m} M\left( 1 \right)=3\text{kN}-\text{m} M\left( 2 \right)=1\text{kN}-\text{m}
    \text{V}=-2\text{ }\!\!~\!\!\text{ kN} 2\le x\le 3 V\left( 2 \right)-2\text{ }\!\!~\!\!\text{ kN} V\left( 3 \right)=-2\text{ }\!\!~\!\!\text{ kN}
    \text{M}=\left( 6-2\text{x} \right)\text{kN}-\text{m} M\left( 2 \right)=2\text{kN}-\text{m} M\left( 3 \right)=0~\text{kN}-\text{m}
  8. Graficar los valores de fuerza cortante

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    Ecuación Rango Límite inferior Límite superior
    \text{V}=4-2\text{x} 0\le x\le 1 V\left( x=0 \right)=4~kN V\left( x=1 \right)=2~kN
    \text{V}=-2\text{ }\!\!~\!\!\text{ kN} 2\le x\le 2 V\left( 1 \right)=-2\text{ }\!\!~\!\!\text{ kN} V\left( 2 \right)=-2\text{ }\!\!~\!\!\text{ kN}
    \text{V}=-2\text{ }\!\!~\!\!\text{ kN} 2\le x\le 3 V\left( 2 \right)-2\text{ }\!\!~\!\!\text{ kN} V\left( 3 \right)=-2\text{ }\!\!~\!\!\text{ kN}
  9. Graficar los valores de momento flector

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    Ecuación Rango Límite inferior Límite superior
    \text{M}=4\text{x}-{{x}^{2}} 0\le x\le 1 M\left( 0 \right)=0~kN-m M\left( x=1 \right)=3~kN-m
    \text{M}=\left( 5-2\text{x} \right)\text{kN}-\text{m} 2\le x\le 2 M\left( 1 \right)=3\text{kN}-\text{m} M\left( 2 \right)=1\text{kN}-\text{m}
    \text{M}=\left( 6-2\text{x} \right)\text{kN}-\text{m} 2\le x\le 3 M\left( 2 \right)=2\text{kN}-\text{m} M\left( 3 \right)=0~\text{kN}-\text{m}

    Ahora bien, el método alternativo conocido como el método de las áreas se basa en las siguientes relaciones:


    \Delta {{V}_{AB}}={{V}_{B}}-{{V}_{A}}=-\left( \acute{A}rea~de~la~carga~distribuida~entre~el~punto~A~y~el~punto~B \right)

    \Delta {{M}_{AB}}={{M}_{B}}-{{M}_{A}}=\acute{A}rea~del~diagrama~de~cortante~entre~el~punto~A~y~el~punto~B

    Donde ∆VAB es el cambio en el valor del cortante entre los puntos A y B, VA es el cortante en el punto A (valor conocido), VB es el cortante en el punto B (valor a determinar). ∆MAB es el cambio en el valor del momento entre los puntos A y B, MA es el momento en el punto A (valor conocido), MB es el momento en el punto B (valor a determinar).