Ejemplo de cálculo de momentos de inercia

En el área sombreada en azul se requiere determinar el momento de inercia respecto al eje horizontal (eje x), las distancias se encuentran en mm.

(Para ampliar la imagen haga clic sobre ella)

Momento de inercia del rectángulo. Se obtiene con base en la figura anterior así:

{{I}_{x}}=\frac{1}{3}b{{h}^{3}}=\frac{1}{3}\left( 240~mm \right){{\left( 390~mm \right)}^{3}}=4.75x{{10}^{9}}~m{{m}^{4}}

Para el cálculo del momento de inercia del círculo se determina la ubicación del centroide C del semicírculo con respecto al eje x. La distancia “b” desde el centroide C hasta el eje x es:

b=180~mm+90~mm=270~mm

Ahora, se calcula el momento de inercia del círculo con respecto al Centroide; además se calcula el área del círculo.

{{\bar{I}}_{x}}=\frac{1}{4}\pi {{r}^{4}}=\frac{1}{4}\pi {{\left( 90~mm \right)}^{4}}=51.53x{{10}^{6}}~m{{m}^{4}};
A=\pi {{r}^{2}}=\pi {{\left( 90~mm \right)}^{2}}=25.45x{{10}^{3}}~m{{m}^{2}}

Con el teorema de los ejes paralelos, se obtiene el valor de {{\bar{I}}_{x'}}

{{I}_{x}}={{\bar{I}}_{x}}+A*{{b}^{2}};~~~~{{I}_{x}}=51.53x{{10}^{6}}~m{{m}^{4}}+\left( 25.45x{{10}^{3}}~m{{m}^{2}} \right){{\left( 270~mm \right)}^{2}};
{{I}_{x}}=1.91x{{10}^{9}}~m{{m}^{4}}

Momento de inercia del área pedida.

Si se le resta el momento de inercia del círculo al momento de inercia del rectángulo, se obtiene:

{{I}_{x}}=4.75x{{10}^{9}}~m{{m}^{4}}-1.91x{{10}^{9}}~m{{m}^{4}}=2.84x{{10}^{9}}~m{{m}^{4}}