Elementos geométricos de la curva

La tangente (T) es la distancia horizontal en línea recta que hay entre el PI y el PC, o entre el PI y el PT, como se muestra en la figura.

Figura 1. Tangente.

Del triángulo [ PI – PO – PC ], conociendo el delta (Δ) y el radio (R):

Despejando T se tiene:

La cuerda larga (C) es la distancia horizontal en línea recta que hay entre el PC y el PT, como se muestra en la figura.

Figura 2. Cuerda larga.

El cruce de la cuerda larga con la bisectriz, punto A, divide la cuerda larga en dos partes iguales, y del triángulo [PC – A – PO ], conociendo el delta () y el radio (R), se obtiene:

Despejando C se tiene:

La ordenada (M) es la distancia horizontal en línea recta que hay entre la intersección A o punto medio de la cuerda larga (C) y la intersección de la bisectriz y la curva, denominado punto B o punto medio del segmento circular, como se muestra en la figura.

Figura 3. Ordenada.

Del triangulo [ PC – A – PO ], conociendo el delta (Δ) y el radio (R):

Despejando la distancia [PO – A ] se tiene:

Conociendo que la distancia entre [PO – B ] es el radio (R) de la curva, entonces:

Reemplazando:

Despejando M se tiene:

Simplificando:

La externa (E) es la distancia horizontal en línea recta que hay entre el punto B y el PI, también la distancia medida sobre la bisectriz entre el PI y el punto medio de la curva, como se muestra en la figura.

Figura 4. Externa.

Del triángulo [ PC – PI – PO ], conociendo el delta (Δ) y el radio (R):

Despejando la distancia [ PO – PI ] se tiene:

Conociendo que la distancia entre [ PO – PI ] es el radio mas la externa se tiene:

Despejando E se tiene:

Simplificando:

La longitud (L) es la distancia entre el PC y el PT a lo largo del arco circular o de un polígono de cuerdas unidad inscrito en el segmento circular que forma la curva, la primera denominada longitud por arco y la segunda longitud por cuerdas

Con los avances de la tecnología el método más utilizado es por arco, ya que la localización de la curva regularmente se hace por coordenadas planas con una estación total, si la localización se realiza con teodolito y cinta se debe calcular por el sistema de cuerdas, o por arco pero calcular la cuerda equivalente que se describirá a continuación.

Longitud por arco

La curva de un arco circular es determinada de acuerdo a su radio (R) o a su grado de curvatura (Gs), el cual es el valor angular central de un arco de longitud escogido como unidad, en carreteras la longitud de este arco es de 5.000, 10.000 o 20.000 metros.

En la figura 5 se muestra el (Gs) que corresponde a un arco de longitud (s)

Figura 5. Longitud por arco.

Si se relaciona el arco y el grado de curvatura con el valor angular de la circunferencia y su longitud se tiene que:

Despejando (Gs) se tiene:

Para determinar la longitud de la curva por arco (Ls) se relaciona el arco y el grado de curvatura, con la longitud y el ángulo de deflexión:

Despejando (Ls) se tiene:

Remplazando (Gs) por la ecuación 5.6, se tiene:

Simplificando:

En este caso no es una curva, si no la longitud es polígono inscrito de distancias iguales, las cuales se denomina cuerdas unidad (c), la cual bajo el mismo criterio del arco pueden ser de 5, 10 o 20 metros, como se muestra en la figura.

Figura 6. Longitud por cuerda.

De uno de los triángulos que se forman, se tiene:

Despejando (Gc), se tiene:

Despejando (Lc) se tiene:

Despejando (Ls) se tiene:

Como se mencionó anteriormente si se calcula la longitud con arco y se va a localizar con teodolito y cinta por medio de deflexiones es necesario determinar la cuerda equivalente, ya que la cuerda tendrá un valor menor que la longitud del arco, como se muestra en la figura.

Figura 7. Cuerda equivalente.

Lo que se necesita es determinar cuál es la cuerda para que el (Gs) y el (Gc) sean iguales, por lo tanto de la fórmula 5.8, se despeja la (c), que sería la cuerda equivalente (Ce):

Despejando (c), que es la cuerda equivalente (Ce), y remplazando (Gs) por (Gc) se tiene:

Y con este valor se debe localizar la curva en campo.