Sistemas de representación de la función lineal


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1. Algebraico

Relación directamente proporcional entre el producto de la pendiente con la variable independiente con la variable dependiente.

En donde: y es la variable dependiente.
x es la variable independiente.
y = mx
m es la pendiente.

2. Visual

La gráfica de las funciones lineales es una recta con cierta inclinación (determinada por la pendiente) que pasa por el origen del plano cartesiano convencional.

Ejemplo 1

Representación visual de y = 4x en el plano cartesiano, evidenciando la relación de proporcionalidad directa.

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Ejemplo 2

Representación visual de \mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)=-\frac{1}{2}\mathbf{x} en el plano cartesiano, evidenciando un decrecimiento lineal.

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3. Pendiente

La pendiente de una recta representa la razón de cambio de un punto a otro, relacionando el cambio vertical con el cambio horizontal y se representa con la letra m:

\text{m}=\frac{\text{cambio }\!\!~\!\!\text{ vertical}}{\text{cambio }\!\!~\!\!\text{ horizontal}}

Ejemplo

Figura 1. Representación visual de una función lineal en donde se puede visualizar el cambio vertical respecto al horizontal con coordenadas enteras.

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En la figura anterior se puede evidenciar una recta trazada en el plano cartesiano, y con la información otorgada se puede conocer el valor de la pendiente:

  1. Recordar la fórmula:

    \text{m}=\frac{\text{cambio }\!\!~\!\!\text{ vertical}}{\text{cambio }\!\!~\!\!\text{ horizontal}}

  2. Fijar dos puntos en la gráfica: de estos puntos se debe poder realizar una extracción de información exacta.

    Figura 2. Recta con puntos específicos marcados donde se presenta la recta visualizada en la figura 1, resaltando los puntos que tienen coordenadas enteras y que son fáciles de reconocer visualmente: A(-3,-2) y E(3,2)

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    En la anterior figura se evidencian dos puntos de la recta: A y E, los cuales tienen coordenadas exactas y esto favorece el proceso de conteo.

  3. Contar desplazamiento vertical:

    Figura 3. Recta con variación vertical donde se presenta la recta con los elementos proporcionados en la figura 2, resaltando un segmento azul que determina el valor del cambio vertical de la pendiente.

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    Para realizar este conteo se debe trazar un segmento (línea azul) como se muestra en la imagen y contar la cantidad de unidades que tiene de largo, en este caso sería 4, puesto que se cuenta desde el extremo inferior.

  4. Contar desplazamiento horizontal:

    Figura 4. Recta con variación horizontal donde se presentan la recta con los elementos proporcionados en la figura 3, resaltando un segmento azul que determina el valor del cambio horizontal de la pendiente.

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    En este caso el conteo se realiza horizontalmente y la recta se traza como se muestra en la figura en color naranja, de esta manera se determina que el valor es de 6 y como se cuenta hacia la derecha, dicho valor es positivo.

  5. Utilizar definición (paso 1) y datos recolectados (paso 3 y 4):

    Figura 5. Recta con variación en los dos ejes, en la cual se presenta el resumen de las figuras 3 y 4 para observar el cambio vertical y horizontal de manera práctica.

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La definición de pendiente radica en:

\text{m}=\frac{\text{cambio }\!\!~\!\!\text{ vertical}}{\text{cambio }\!\!~\!\!\text{ horizontal}}

Al reemplazar los cambios por valores numéricos hallados en los pasos anteriores se obtiene:

\text{m}=\frac{\text{cambio }\!\!~\!\!\text{ vertical}}{\text{cambio }\!\!~\!\!\text{ horizontal}}=\frac{4}{6}

Después de esto se debe simplificar la fracción:

\text{m}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}

Obteniendo como resultado el valor de la pendiente:

\text{m}=\frac{2}{3}

Recuerde que al hallar el valor de la pendiente es importante entregar el resultado lo más simplificado posible, es más, cualquier respuesta matemática se debe entregar en su mínima expresión.

Es importante resaltar que una función lineal es creciente si su pendiente es positiva, decreciente si es negativa y constante si m=0, esto quiere decir que la función expuesta como ejemplo es creciente.

También se puede establecer dicha pendiente con un método algebraico y con la ayuda de la fórmula:

\text{m}=\frac{{{\text{y}}_{1}}-{{\text{y}}_{2}}}{{{\text{x}}_{1}}-{{\text{x}}_{2}}}

Al utilizar la figura 5, podemos establecer que A=(-3,-2) y E(3,2), entonces:

  1. Todas las coordenadas en el plano cartesiano tienen una abscisa y una ordenada que se escriben de la forma (x,y), en esos términos:
    2. Punto Coordenada Componente en x Componente en y
    A (-3,-2) x1=-3 y1=-2
    E (3,2) x2=3 y2=2
  2. Reemplazar en la fórmula:

    \text{m}=\frac{{{\text{y}}_{1}}-{{\text{y}}_{2}}}{{{\text{x}}_{1}}-{{\text{x}}_{2}}}=\frac{-2-2}{-3-3}=\frac{-4}{-6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}

    En conclusión, la pendiente resulta ser la misma tanto por el método visual como por métodos algebraicos.

4. Función afín

Una función a fin tiene una expresión algebraica de la forma y=mx+b, en donde b es la intersección de la función con el eje y. En la representación visual una función afín interseca el eje y en cualquier punto diferente al origen.

Ejemplo 1

Representación visual de y = -4x + 3 en el plano cartesiano.

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Ejemplo 2

Representación visual de \mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)=\frac{1}{2}~\mathbf{x}-2 en el plano cartesiano.

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Ejemplo 3

Hallar la ecuación de la recta que pasa por M(-3,4) y N(6,5).

  1. Toma de datos
    Punto Coordenada Componente en x Componente en y
    M (-3,4) x1=-3 y1=4
    N (6,5) x2=6 y2=5

  2. Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados:

    \text{m}=\frac{{{\text{y}}_{1}}-{{\text{y}}_{2}}}{{{\text{x}}_{1}}-{{\text{x}}_{2}}}=\frac{4-5}{-3-6}=-\frac{1}{-9}=\frac{1}{9}

  3. Utilizar la ecuación punto-pendiente para determinar la ecuación que modela la función:

    \text{y}-{{\text{y}}_{1}}=\text{m}\left( \text{x}-{{\text{x}}_{1}} \right)

    \text{y}-4=\frac{1}{9}\left( \text{x}--3 \right)

    \text{y}-4=\frac{1}{9}\left( \text{x}+3 \right)

    \text{y}-4=\frac{1}{9}\text{x}+\frac{3}{9}

    \text{y}=\frac{1}{9}\text{x}+\frac{1}{3}+4

    \text{y}=\frac{1}{9}\text{x}+\frac{1}{3}+\frac{12}{3}

    \text{y}=\frac{1}{9}\text{x}+\frac{13}{3}

  4. Análisis de las condiciones: la recta que pasa por los puntos M y N es una función creciente, puesto que la pendiente es positiva, además, el corte con el eje y está en \text{y}=\frac{13}{3}=4,\bar{3}.