Formas de solucionar ecuaciones cuadráticas

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• Por propiedad de la raíz: ecuaciones del tipo ax² − c = 0

  • Ejemplo

    {{x}^{2}}-81=0

    1. Despejar la variable:

       {{x}^{2}}=81

    2. Aplicar la propiedad de la raíz cuadrada (escribir la raíz con más y con menos)

       x=\sqrt{81}~\vee x=-\sqrt{81}

    3. Solucionar

       {{x}_{1}}=9~\vee {{x}_{2}}=-9

  • Ejemplo

    Determinar el valor de x para la expresión:

    {{\left( 4x+1 \right)}^{2}}-{{\left( 3x+2 \right)}^{2}}=6{{x}^{2}}-4x+1

    {{\left( 4x+1 \right)}^{2}}-{{\left( 3x+2 \right)}^{2}}=6{{x}^{2}}-4x+1	Ecuación cuadrática.
    16{{x}^{2}}+8x+1-9{{x}^{2}}-12x-4=6{{x}^{2}}-4x+1	Trinomio cuadrado perfecto.
    16{{x}^{2}}+8x+1-9{{x}^{2}}-12x-4-6{{x}^{2}}+4x-1=0	Inversos aditivos.
    {{x}^{2}}-4=0	Suma de términos semejantes.
    {{x}^{2}}=4	Despejar la variable.
    x=\sqrt{4}~\vee x=-\sqrt{4}	Propiedad de la raíz.
    {{x}_{1}}=2~\vee {{x}_{2}}=-2	Simplificar la expresión.

• Por factorización: trinomio ax² + bx + c = 0

  • Ejemplo

    3{{m}^{2}}+8m+5=0

    1. Identificar los valores de los coeficientes a y b y el término libre c:

       a=3

       b=8

       c=5

    2. Multiplicar a por c.

       ac=3*5=15

    3. Descomponer el resultado de la multiplicación en factores primos:

       15	3
       5	5
       1

       3*5=15

    4. Escribir el primer y último término, en el centro aplicar la ley de los signos y agrupar los resultados de la descomposición de tal manera que su suma sea b. Escribir en los espacios:

       3{{x}^{2}}+3x+5x+5=0

    5. Agrupar los dos primeros y los dos últimos términos. Sacar los factores comunes:

       \left( 3{{m}^{2}}+3m \right)+\left( 5m+5 \right)=0

       3m\left( m+1 \right)+5\left( m+1 \right)=0

       \left( 3m+5 \right)\left( m+1 \right)=0~

    6. Aplicar el teorema del factor cero:

       \left( 3m+5 \right)\left( m+1 \right)=0

       3m+5=0\vee m+1=0

    7. Despejar:

       3m+5=0

       3m=-5

       {{m}_{1}}=-\frac{5}{3}

       m+1=0

       {{m}_{2}}=-1

• Por factorización: trinomio x² + bx + c = 0

  • Ejemplo

    {{x}^{2}}-3x-18=0

    1. Plantear dos paréntesis, escribir x en cada uno de ellos, asignar los signos correspondientes:

       \left( x-~~~~ \right)\left( x+~~~~ \right)=0

    2. Buscar dos números que multiplicados den c y sumados b:

       \left( x-6 \right)\left( x+3 \right)=0

    3. Aplicar el teorema del factor cero:

       x-6=0\vee x+3=0

    4. Despejar:

       {{x}_{1}}=6\vee {{x}_{2}}=-3

• Por factorización: factor común

  • Ejemplo

    2{{x}^{2}}+4x=0

    1. Identificar todos los factores comunes (números y letras):

       2x\left( x+2 \right)=0

    2. Aplicar el teorema del factor cero y despejar:

       2x=0\vee x+2=0

       {{x}_{1}}=0\vee {{x}_{2}}=-2

• Por fórmula general

  x=\frac{-b\pm \sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}

  • Ejemplo

    2{{x}^{2}}-11x+12=0

    1. Identificar los valores de los coeficientes a y b y el término libre c:

       a=2

       b=-11

       c=12

    2. Reemplazar en la fórmula general:

       x=\frac{-b\pm \sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}

       x=\frac{-\left( -11 \right)\pm \sqrt{{{\left( -11 \right)}^{2}}-4\left( 2 \right)\left( 12 \right)}}{2\left( 2 \right)}

       x=\frac{11\pm \sqrt{121-96}}{4}

       x=\frac{11\pm \sqrt{25}}{4}

       
       

       {{x}_{1}}=\frac{11+5}{4}

       {{x}_{1}}=\frac{16}{4}

       {{x}_{1}}=4

       {{x}_{2}}=\frac{11-5}{4}

       {{x}_{2}}=\frac{6}{4}

       {{x}_{2}}=\frac{3}{2}