La ecuación cuadrática 2x2 − 2x − 84 = 0 se puede solucionar mediante:
−3 −2 y −1.
1, −1 y −12.
La ecuación 4x2 − x − 6 = 0 tiene:
El valor de la incógnita de la ecuación 5(x − 1) − (2 − x) = 5(x − 2) + 4 es:
x = 1
x = 0
x = −1
x = 7
El valor de x en la ecuación es:
El valor de x en la ecuación es:
2x = 29
x = 8
29
Formula
Naty presupuestó gastar $800.000 en ropa para navidad. En Fuera de Serie gastó de este dinero y en ELA de lo que le quedaba. ¿Cuánto dinero le queda disponible?
Al resolver la ecuación
Tiene una solución, .
Tiene una solución, .
Tiene dos soluciones: y .
Por ser ecuación de segundo grado la fórmula general es el método más utilizado para solucionar esta ecuación. Sin embargo, no es la única, puesto que se puede factorizar por el trinomio de la forma ax2 + bx + c = 0.
La propiedad de la raíz se aplica a binomios y en este caso no aplica, mientras que el teorema del factor 0 está inmerso en la factorización, pero no es un método establecido.
En el enunciado se plantean tres números, llamémoslos: a, b y c. Los cuales al ser consecutivos cumplen la forma:
Si tomamos como primer número a a, segundo número a b y tercer número a c, podemos escribir en lenguaje algebraico el enunciado de la siguiente manera:
ab = 2c + 8
Si reemplazamos con las equivalencias que encontramos anteriormente, con el fin de tener todo en términos de una sola variable, obtenemos:
a(a + 1) = 2(a + 2) + 8
Así procedemos a simplificar la expresión con la ayuda de las propiedades de los números reales:
a2 + a = 2a + 4 + 8
a2 + a − 2a − 12 = 0
a2 − a − 12 = 0
Una vez, con esta ecuación cuadrática simplificada, se tienen dos opciones para su solución: factorización o fórmula general, en esta ocasión se resolverá por factorización del trinomio de la forma x2 + bx + c:
a2 − a − 12 = 0
(a − 4) (a + 3) = 0
a = 4 ∨ a = −3
Tomamos el valor de a = 4, puesto que en el enunciado nos indican que los tres números son positivos y procedemos a encontrar los otros valores:
Obteniendo así los tres números que cumplen las condiciones dadas.
El procedimiento es correcto pero no se toma a = 4 sino c.Para determinar la cantidad de soluciones que tiene una ecuación cuadrática, primero identifiquemos las variables a,b,c:
Ahora se debe hacer uso del discriminante b2 − 4ac:
b2 − 4ac = (−1)2 −4(4)(−6) = 1 + 96 = 97
Como el valor del discriminante es un número positivo, se puede concluir que tiene dos soluciones reales.
Esto también se podrá confirmar solucionando la ecuación cuadrática.
La propiedad que adquiere el conjunto numérico de los números naturales, con la llegada de los enteros, es la propiedad de los inversos aditivos, puesto que no la tenía.
Es necesario aclarar que los números naturales tienen como propiedades: asociativa, conmutativa, modulativa y clausurativa.
Utilizando las propiedades de los reales se despeja la incógnita:
(5x − 1) − (2 − x) = 5(x − 2) + 4
5x − 5 − 2 + x = 5x − 10 + 4
6x − 7 = 5x − 6
6x − 5x = 7 − 6
x = 1
Si x = 0
5(x − 1) − (2 − x) = 5(x − 2) + 4
5(0 − 1) − (2 − 0) = 5(0 − 2) + 4
5(−1) − 2 = 5(−2) + 4
−5 − 2 = −10 + 4
−7 ≠ −6
Si x = −1
5(x − 1) − (2 − x) = 5(x − 2) + 4
5(−1 − 1) − (2 − −1) = 5(−1 − 2) + 4
5(−2) − (2 + 1) = 5(−3) + 4
−10 − 3 = −15 + 4
−13 ≠ −11
Si x = 7
5(x − 1) − (2 − x) = 5(x − 2) + 4
5(7 − 1) − (2 − 7) = 5(7 − 2) + 4
5(6) − (−5) = 5(5) + 4
30 + 5 = 25 + 4
35 ≠ 29
Si x = 7
5(x − 1) − (2 − x) = 5(x − 2) + 4
5(7 − 1) − (2 − 7) = 5(7 − 2) + 4
5(6) − (−5) = 5(5) + 4
30 + 5 = 25 + 4
35 ≠ 29
Para determinar la validez de alguna de las respuestas debemos prestar atención a la sintaxis, puesto que se pregunta el valor de la incógnita y no del doble de esta, de ahí que se descarte la opción a.
Ahora, para determinar la validez de alguna de las opciones, procedemos a resolver la ecuación lineal con la ayuda de las propiedades de los números reales:
Así determinamos el valor de la incógnita.
Para solucionar esta situación debemos determinar cuánto se gastó en Fuera de Serie:
Es decir, que se gastó $320 000, le queda $480 000, puesto que:
800 000 − 320 000 = 480 000
Ahora en ELA gasto de lo que quedaba, es decir:
Si gastó $360 000, le quedó:
480 000 − 360 000 = 120 000
Naty quedó con $120 000 disponibles.
Sabemos que Tatiana perdió de los colores, es decir, que tiene de la caja, si llamados x a la cantidad total de colores, sabemos que:
Si despejamos esta ecuación:
Así, por medio de la manipulación de números racionales, se deduce que la caja tenía 36 colores.
Para determinar las soluciones primero debemos simplificar la expresión para llegar a una ecuación cuadrática o lineal:
Ahora solucionamos esta ecuación cuadrática, optamos por el método de la raíz por ser más rápido:
Los años antes de Cristo se trabajaban al revés por cuestiones religiosas, lo que quiere decir que, para determinar la edad de Aristóteles, debemos restar 62 de 384:
384 − 62 = 322
Así se determina que Aristóteles murió en 648 a. C.