Veamos algunos ejemplos de proposiciones, lea las proposiciones y en la sección “Juicio de valor” haga clic en la opción que considere correcta:

Proposición Juicio de valor
Jueves es un día de la semana
  • Verdadero
  • Falso
La luna está hecha de queso verde
  • Falso
  • Verdadero

En las proposiciones se utilizan palabras que se determinan como cuantificadores, los cuales indican la cantidad de veces que se repite la acción propuesta en la proposición. Las expresiones “para todo (∀)” y “existe (∃)” se denominan cuantificador universal y cuantificador existencial respectivamente.

Ejemplo

Representación verbal Representación simbólica Representación verbal matemática
Existen algunos números naturales que son pares. ∃x ∈ N|x es par Existe una equis que pertenece a los números naturales, tal que equis es par.
Todos los números primos son pares. ∀ x ∈ N|x es primo → x par Para todo número que pertenezca a los naturales, tal que ese número es primo, entonces, par.

Realice la siguiente actividad

Encuentre negación de las siguientes proposiciones:

  1. ∀ x ∈ N, x < 0
  2. ∃x ∈ N|−2 < x < −1
  3. ∀x ∈ N|x − 3 = 8
  4. ∃x ∈ Z|x + 1 = −5

Para resolver este tipo de ecuaciones e inecuaciones es necesario tener en cuenta el conjunto en el que se solicita la solución.

Solución

Ejercicio Solución
  1. ∀ x ∈ N, x < 0
 Falso, puesto que los números naturales son positivos, es decir, mayores que 0.
  1. ∃x ∈ N|−2 < x < −1
 Falso, puesto que los números naturales son enteros positivos y, en primer lugar, los valores que podría tomar x serían negativos, y en segunda instancia entre -2 y -1 no hay ningún entero.
  1. ∀x ∈ N|x − 3 = 8
 Falso, ya que afirma que para que un número sea natural debe ser igual a 11 (al solucionar la ecuación se obtiene que x = 8 + 3 = 11) y no todos los naturales cumplen esta condición.
  1. ∃x ∈ Z|x + 1 = −5

Verdadero, pues al solucionar la ecuación se obtiene que x = −5 − 1 = −6 y este número -6 pertenece al conjunto de los números enteros.

Al retomar la relación entre la lengua castellana y la lógica matemática, en el primer ejemplo vimos oraciones y en el segundo proposiciones, resaltamos que se debe tener especial cuidado con las palabras a utilizar, puesto que la lógica es precisa y no da cabida a errores. De esta manera, continuamos con la negación de proposiciones que poseen cuantificadores.

La negación de una proposición con cuantificador universal es equivalente a la negación del predicado acompañado del cuantificador existencial:

∼(∀x ∈ A)|p(x) ↔ (∃x ∈ A)|∼p(x)

La negación de una proposición con cuantificador existencial es equivalente a la negación del predicado acompañado del cuantificador universal:

∼(∃x ∈ A)|p(x) ↔ (∀x ∈ A)|∼p(x)

Ejemplo

Cuantificador por negar Negación del cuantificador Ejemplo
Proposición Proposición con cuantificador y predicado negado
Todo Existen Todos los números primos son impares.

Existen algunos números primos que no son impares.
Existen Todo Existen gatos que no son felinos. Todos los gatos son felinos.

Realice la siguiente actividad

Hallar la negación de las siguientes proposiciones:

  1. ∃x ∈ R|x − 1 = 0
  2. ∀x ∈ N|x < 2
  3. ∃x ∈ R|x ≤ −1

Para negar estos predicados se hace necesario aplicar la tricotomía que cumplen los números reales:

Si a,b ∈ R entonces a > b ∨ a < b ∨ a = b

La tricotomía de los números reales afirma que la relación que se puede hallar entre dos números puede ser: mayor, menor o igual.

Solución

Para iniciar se resalta que, si una proposición es verdadera su negación debe ser falsa y si la expresión es falsa su negación debe ser verdadera:

Proposición Valor de verdad Negación
∃x ∈ R|x − 1 = 0 Verdadero ∀x ∈ R|x − 1 ≠ 0
∀x ∈ N|x < 2 Falso ∃x ∈ N|x ≥ 21
∃x ∈ R|x ≤ −1 Verdadero ∀x ∈ R|x > −1