Ejemplo de minimización costos
Con base en el siguiente video, se desarrolla este ejemplo.
Entonces, con base en lo anterior, se debe minimizar el costo anual del control de emisiones. Sean x1, x2 y x3 los números anuales de sacos de cemento que se fabrican en los hornos que utilizan el dispositivo A, el B y ningún dispositivo, respectivamente. Entonces, x1, x2, x3 ≥ 0 y el costo anual de control de emisiones C (en dólares) es
Z = 1/5x1 + 1⁄4x2 + 0x3. (6)
Como se fabrican 2.500.000 costales de cemento cada año,
x1 + x2 + x3 = 2.500.000 (7)
El número de libras de polvo emitido anualmente por los hornos que utilizan el dispositivo A, el B y ningún dispositivo son 1⁄2 x1, 1/5 x2 y 2x3, respectivamente. En virtud de que el número total de libras de emisiones de polvo no debe ser superior a 800.000,
1⁄2x1 + 1/5x2 + 2x3 ≤ 800.000. (8)
Para minimizar C sujeta a las restricciones (7) y (8) en donde x1, x2, x3 ≥ 0, en primer lugar se maximiza -C utilizando el método simplex. Las ecuaciones que se deben considerar son:
x1 + x2 + x3 + t1 =2.500.000 (9)
y 1⁄2x1 + 1/5x2 + 2x3 + s2 = 800.000, (10)
en donde t1 y s2 son variables artificial y de holgura, respectivamente. La ecuación objetivo artificial es W= (-z) - Mt1 o, de manera equivalente, ,1/5x1 + 1⁄4x2 + 0x3 +Mt1 + W = 0 (11)
En donde M es un número positivo grande. La matriz aumentada de coeficientes de las ecuaciones (9) - (11) es:
| x1 | x2 | x3 | x2 | t1 | W | |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 2.500.000 |
| 1/2 | 1/5 | 2 | 1 | 0 | 0 | 800.000 |
| 1/5 | 1/4 | 0 | 0 | M | 1 | 0 |
Después de determinar la tabla simplex inicial, se continúa y se obtiene (después de tres tablas adicionales) la tabla final:
| x1 | x2 | x3 | s2 | W | ||
| x2 | 0 | 1 | -5 | -10/3 | 0 | 1.500.000 |
| x1 | 1 | 0 | 6 | 10/3 | 0 | 1.000.000 |
| W | 0 | 0 | 1/20 | 1/6 | 1 | -575.000 |
Nótese que se reemplaza W por -C cuando t1 = 0. El valor máximo de -C es -575.000 y aparece cuando x1 = 1.000.000, x2 = 1.500.000 y x3 = 0.
Por lo tanto el costo anual mínimo de control de emisiones es -(-575.000) = $575.000. Se debe instalar el dispositivo A en los hornos que fabrican 1.500.000 costales al año.