Ejemplo de aplicación de una matriz hessiana

Suponga la función: .

Las derivadas de cada una de las variables corresponden a:




Que igualadas a cero corresponden a un sistema no lineal. Usualmente debería emplearse el método de sustitución, pero en este caso basta con sumar las dos ecuaciones para obtener:



Cuyas soluciones están dadas por:



Esto significa que existen dos puntos críticos, uno para cada valor de , que deben sustituirse en cualquier ecuación (la más sencilla en este caso es: ).

Los puntos críticos corresponden a: y .

Para clasificar estos puntos críticos es necesario determinar la matriz hessiana:



Su determinante corresponde a:



Cada punto crítico se reemplaza en el determinante para determinar clasificación:

Para , el determinante corresponde a:



Como el determinante es negativo se afirma que: es un punto de silla.

Para , el determinante queda:



Dado que el determinante es positivo, se hace obligatorio examinar el signo de o de . La segunda derivada de con respecto de es:



Por lo tanto, como el valor resultante es positivo, así como , se afirma entonces que el punto es un mínimo local.