Ejemplo de optimización sin restricción

Ejercicio

Determine los valores críticos para la función: .

Solución

Primero se deben calcular las derivadas parciales con respecto de las variables de la función:




Luego se igualan a cero para resolver el sistema de ecuaciones:



Es importante tener presente que si el sistema es lineal, los métodos usuales como eliminación, sustitución e igualación, serán los más adecuados. En este caso, el método de eliminación es el más eficiente, pues al sumar las dos ecuaciones se obtiene:



De lo que se deduce que: .

Sustituyendo el valor de en la primera ecuación, se obtiene que:







Por lo que se obtiene que: .

Entonces, los valores críticos de la función corresponden a: .

Al evaluar los valores críticos en la función se obtiene:



El punto del espacio: corresponde al punto crítico de la función.

Tras este cálculo surge un nuevo interrogante, ¿cuál es la clasificación del punto?

Puede ser un máximo o mínimo relativo, pero también puede ser un punto de silla o inflexión de la función (donde la función presenta un cambio de concavidad). Se presenta ahora la definición de la matriz hessiana y su determinante (también llamado hessiano) para su clasificación.