x=c es un punto crítico de la función f(x) si f(c) existe y alguna de las siguientes afirmaciones se cumple:
f^{ \prime }\left( c \right) =0
o
f^{ \prime }\left( c \right) no existe
Recuerde que requiere que f(c) exista de tal forma que x=c sea un punto crítico.
Haga clic sobre cada uno de los ejemplos para ver ver la forma en que se aplica el teorema de los puntos críticos.
Determine todos los puntos críticos de la función: f\left( x \right) ={ 6x^{ 5 } }+{ 33x^{ 4 } }-{ 30x^{ 3 } }+100.
Solución
Lo primero que se debe hacer en este caso es derivar la función para encontrar los puntos críticos. Note que se puede factorizar la derivada para simplificar la expresión:
f^{ \prime }\left( x \right) ={ 30x^{ 4 } }-{ 132x^{ 3 } }+{ 90x^{ 2 } }
f^{ \prime }\left( x \right) =6x^{ 2 }(5x^{ 3 }+22x-15)
f^{ \prime }\left( x \right) ={ 6x }^{ 2 }(5x-3)(x+5)
La derivada es un polinomio y existe para toda la recta real, por lo tanto, los únicos puntos críticos serán aquellos valores de x que hacen que la derivada sea igual a cero. Por lo tanto, se debe resolver de la siguiente manera:
{ 6x }^{ 2 }(5x-3)(x+5)=0
Debido a que se simplificó la expresión, es sencillo saber que la solución a este ejercicio son los puntos críticos:
x=5,\quad x=0\quad y\quad x=\frac { 3 }{ 5 }
Debido a su naturaleza, los polinomios son funciones normalmente fáciles de trabajar para encontrar puntos críticos —siempre que el grado no sea tan alto— pues es posible encontrar problemas en el cálculo de las raíces de la derivada.
Las funciones más interesantes para encontrar puntos críticos no suelen ser polinomios; sin embargo, observe el siguiente ejemplo de una función que requiere un poco más de esfuerzo.
Determine los puntos críticos de la función: g(t)=\sqrt [ 3 ]{ { t }^{ 2 } } \left( 2t-1 \right).
Solución
Al igual que en el ejemplo anterior, se debe encontrar la primera derivada y es por esto que para facilitar el proceso se debe simplificar la expresión antes de derivarla. En este caso se multiplicará la raíz a través del paréntesis y se simplificará la expresión tanto como sea posible con el fin de evitar el uso de la regla del producto al realizar la derivada:
g(t)={ t }^{ \frac { 2 }{ 3 } }\left( 2t-1 \right)
g(t)={ 2t }^{ \frac { 5 }{ 3 } }-{ t }^{ \frac { 2 }{ 3 } }
g´(t)=\frac { 10 }{ 3 } { t }^{ \frac { 2 }{ 3 } }-\frac { 2 }{ 3 } { t }^{ -\frac { 1 }{ 3 } }
g´(t)=\frac { 10 }{ 3 } { t }^{ \frac { 2 }{ 3 } }-\frac { 2 }{ { 3t }^{ \frac { 1 }{ 3 } } }
Se debe tener cuidado cuando se resuelven problemas como este, pues cuando se tienen exponentes negativos lo más recomendable es eliminar el signo menos del exponente, como se hizo en este caso.
Note que cuando se eliminó el signo negativo del exponente en el segundo término, se evidenció que t=0 es un punto crítico de la función. Tras mover el segundo término al denominador se demostró que la derivada no existe en t=0, lo cual evidencia el punto crítico.
Si el exponente negativo no se hubiera cambiado, se hubiera podido escribir que t=0 es un punto crítico, justificando erróneamente que la derivada es cero en t=0. Este detalle parece no tener importancia, pero más adelante será necesario conocer por qué los puntos son críticos.
Es así que en el ejercicio anterior se determinaron los puntos críticos donde la derivada no existe, pero ahora se debe determinar el punto en el que la derivada es cero. Al simplificar la expresión calculando el común denominador, se obtiene:
g´(t)=\frac { 10t-2 }{ { 3t }^{ \frac { 1 }{ 3 } } }
Note que t=0 aún es un punto crítico. Cuando se realiza esta simplificación no se pierde ningún punto crítico, por el contrario, resulta más fácil encontrarlos, pues es más sencillo determinar el punto en el que la derivada es cero. Tenga en cuenta que la anterior es una expresión racional y que solo es cero si su numerador es cero, siempre y cuando el denominador sea diferente cero.
Despejando se obtiene quet=\frac { 1 }{ 5 } Es decir que se obtuvieron los dos puntos críticos de la función:
t=\frac { 1 }{ 5 } \quad y\quad t=0
En adelante, se deberá diferenciar la razón de los puntos críticos, lo cual permitirá analizar la gráfica de la función. Para tal efecto, en adelante se resolverán funciones cuyos puntos críticos son infinitos y funciones que carecen de estos puntos.
Determinar los puntos críticos de la función: y=6x-4\cos { (3x) } .
Solución
En primer lugar, se debe calcular la derivada usando la regla de la cadena para el segundo término:
y^{ \prime }\left( x \right) =6+13\sin { (3x) }
Esta derivada existe en toda parte y por lo tanto no existe ningún punto crítico para el que no exista la derivada. Los únicos puntos críticos serán aquellos que hacen que la derivada sea igual a cero, así que se debe resolver de la siguiente manera:
6+12\sin { (3x)=0 }
\sin { (3x)=\frac { 1 }{ 2 } }
Resolviendo esta ecuación se obtiene:
x=1.2217+2\pi n,\quad n=0,\pm 1,\pm 2...\quad
x=1.9199+2\pi n,\quad n=0,\pm 1,\pm 2...\quad
En este caso, el término n hace referencia a que se obtienen infinitas soluciones, lo cual ocurre en muchos casos. En el siguiente ejemplo se expone un ejercicio en el que la función no tiene puntos críticos.
Determinar todos los puntos críticos de la función: f\left( x \right) ={ xe }^{ { x }^{ 2 } }.
Solución
La derivada de esta función es:
f^{ \prime }\left( x \right) ={ e }^{ { x }^{ 2 } }+{ x }e^{ { x }^{ 2 } }(2x)
f^{ \prime }\left( x \right) ={ e }^{ { x }^{ 2 } }(1+{ 2x }^{ 2 })
Sí x es un número real, esta función nunca será igual a cero, debido a que una función exponencial nunca será igual a cero, aunque un polinomio sí puede ser igual a cero si x es un número complejo. Es por esta razón que la función expuesta no posee puntos críticos en los números reales.