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Título: Aplicaciones de las derivadas en el mundo de los negocios

Instrucción: Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación de las derivadas en el mundo de los negocios.

Textos:

Título	Texto	Audio
Ejemplo 1	Un complejo de residencial cuenta con 250 apartamentos para alquilar. Si se alquilan x apartamentos, entonces su beneficio mensual está dado por: Teniendo en cuenta que la unidad monetaria es el dólar, ¿cuántos apartamentos se deben alquilar para el fin de semana con tal de maximizar las ganancias? Solución En este caso, lo que se pide es maximizar el beneficio sujeto a la restricción de que x debe estar en el rango: . Así las cosas, se debe derivar y calcular el punto crítico, que debe estar entre el rango señalado, entonces: . Dado que la función de utilidad es continua y se tiene un intervalo con límites finitos, se puede encontrar el valor máximo con solo conectar el único punto crítico y los puntos extremos: ,  y . Por lo tanto, el máximo beneficio se genera si solo se alquilan 200 de los 250 apartamentos.	Tenga en cuenta en este ejercicio no se supone que alquilar todos los apartamentos va a generar el máximo beneficio, pues en la mayoría de los complejos residenciales tienen por lo menos un par de unidades vacías después de que un inquilino se muda y es posible que en realidad se quiera el máximo beneficio al caer ligeramente por debajo de la máxima capacidad.
Ejemplo 2	En cierta fábrica, los costos de producción por semana para producir x artículos se determinan por: . A partir de este contexto, conteste las siguientes preguntas: A. ¿Cuál es el costo de producir el articulo número 301? B. ¿Cuál es la tasa de cambio del costo en ? Solución A. No es posible calcular , ya que es el costo de producción de 301 artículos, mientras que lo que en realidad se busca es el costo real de producir el artículo 301. En otras palabras, lo que se busca es: Por lo tanto, el costo de producir el articulo 301 es $295.9. B. En esta parte lo que se requiere es obtener el derivado y luego calcular:	El costo para producir un artículo adicional se denomina costo marginal, y como se vio en el ejemplo anterior: ce de equis es el costo marginal y se aproxima por la tasa de cambio de la función de costo. Es así como se define la función de costo marginal que será la derivada de la función de costo: ce prima de equis.
Ejemplo 3	Los costos de producción por día de un articulo están dados por: . Así las cosas, ¿cuál es el costo marginal cuando ,  y ? Solución En este caso, la derivada es:	En este caso, el costo de producir el artículo número 201 rondará los $10, el costo de producir el artículo número 301 será cercano a $38, y el costo de producir el artículo número 401 será cercano a $ 78.
Ejemplo 4	Suponga que la cantidad de dinero en una cuenta bancaria después de t años está dada por: Determine la cantidad mínima y máxima de dinero en la cuenta durante los primeros 10 años. Solución En este caso se piden los extremos absolutos de A(t) en el intervalo [0, 10], y al igual que en los ejemplos anteriores, esta función es continua en todas partes. Para resolverlo, en primer lugar se calcula la derivada para poder encontrar los puntos críticos: La derivada existe en todas partes y la exponencial nunca es cero, por lo tanto la derivada solo será igual a cero cuando: Aunque se tienen dos puntos críticos, solo  será utilizado. Ahora se evalúa la función en el punto crítico y en los puntos extremos del intervalo. Para tal fin, las evaluaciones de la función son: ,  y .	En este caso, el saldo máximo de la cuenta será de $2000, que tiene lugar en te igual a cero, y el importe mínimo de la cuenta será $199.66, que se producirá en 2 años.