Ejemplo de graficación de una función
Encuentre los puntos de inflexión de la función: f\left( t \right)=t{{\left( 6-t \right)}^{\frac{2}{3}}}, mediante el uso de la segunda derivada y clasifique los puntos críticos en caso de ser posible; determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo, y finalmente dibuje la gráfica de la función.
Solución Figura 1. (Para ampliar la imagen haga clic sobre ella) Figura 2. (Para ampliar la imagen haga clic sobre ella)
Primero, se deben calcular la primera y la segunda derivada:
f\acute{\ }\left( t \right)=\frac{18-5t}{3{{\left( 6-t \right)}^{\frac{1}{3}}}}
f\acute{\ }\acute{\ }\left( t \right)=\frac{10t-72}{9{{\left( 6-t \right)}^{\frac{4}{3}}}}
Los puntos críticos son:
t=\frac{18}{5} y t=6.
Como se puede ver, no existe la derivada en t=6; sin embargo, se puede utilizar la segunda derivada para clasificar el otro punto crítico, es decir la segunda derivada en t=3.6:
f\acute{\ }\acute{\ }\left( 3,6 \right)=-1.24<0
De acuerdo con la segunda derivada, t=3.6 es un máximo relativo, lo cual permitirá diseñar la recta numérica de la siguiente manera:
La lista de posibles puntos de inflexión es:
t=6, y t=\frac{72}{10}=7.2
Así la cosas, la siguiente es la recta de números para la segunda derivada:
Por lo tanto, la concavidad solo cambia en t=7.2, que es el único punto de inflexión para esta función. Figura 3. (Para ampliar la imagen haga clic sobre ella)
Finalmente, el boceto de la gráfica será:
