Gráfica de las funciones crecientes y decrecientes
La gráfica de las funciones crecientes y decrecientes se debe tratar de esbozar por medio de los puntos críticos, por ejemplo, si x=c es un punto crítico y es un mínimo, entonces la función disminuye a la izquierda y aumenta a la derecha. Del mismo modo, si x=c es un máximo relativo, la función crece por la izquierda y disminuye hacia la derecha. Por último, si la función es creciente en ambos lados de x=c o disminuye en ambos lados de x=c, entonces x=c no puede ser ni un mínimo relativo ni un máximo relativo.
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Es importante señalar que la primera derivada solo clasifica puntos críticos como extremos relativos y no como extremos absolutos. |
Ejemplo Figura 1. Fuente: Elaboración propia. (Para ampliar la imagen haga clic sobre ella) Figura 2. Gráfica de la función: g\left( t \right)=t\sqrt[3]{{{t}^{2}}-4}. (Para ampliar la imagen haga clic sobre ella)
Busque y clasifique todos los puntos críticos de la función: g\left( t \right)=t\sqrt[3]{{{t}^{2}}-4}, y trace su gráfica.
Solución
En primer lugar se deben establecer los intervalos en los que la función es creciente y decreciente. Luego se debe derivar y simplificar la función para obtener los puntos críticos:
g\acute{\ }\left( t \right)={{\left( {{t}^{2}}-4 \right)}^{\frac{1}{3}}}+\frac{2}{3}{{t}^{2}}{{\left( {{t}^{2}}-4 \right)}^{\frac{2}{3}}}
g\acute{\ }\left( t \right)={{\left( {{t}^{2}}-4 \right)}^{\frac{1}{3}}}+\frac{2{{t}^{2}}}{3{{\left( {{t}^{2}}-4 \right)}^{\frac{2}{3}}}}
g\acute{\ }\left( t \right)=\frac{5{{t}^{2}}-12}{3{{\left( {{t}^{2}}-4 \right)}^{\frac{2}{3}}}}
Así las cosas, se cuenta con cuatro puntos críticos:
t=\pm 2, en este caso la derivada no existe.
t=\pm \sqrt{\frac{12}{5}}, en este caso la derivada es igual a cero.
Una vez identificados los puntos críticos, se calculan los intervalos en los que la función es creciente o decreciente. Para tal fin se diseña la recta numérica con los puntos críticos y los puntos de prueba:
Creciente en:-\infty < x< -2,~-2< x< -\sqrt{\frac{12}{5}}$, $\sqrt{\frac{12}{5}}< x< 2~y~2< x< \infty. .
Decreciente en:-\sqrt{\frac{12}{5}}<x<\sqrt{\frac{12}{5}}.
Esto quiere decir que t=-2 y t=2 no son ni mínimos relativos ni máximos relativos, ya que la función aumenta en ambos lados. Por otra parte, t=-\sqrt{\frac{12}{5}} es un máximo relativo y t=\sqrt{\frac{12}{5}} es un mínimo relativo.
Finalmente, para obtener el boceto de la gráfica, se empieza por la izquierda desde -\infty hasta el punto t=-2, que es creciente; se hace un alto en este punto y se verifica con la información anterior que sigue creciendo hasta t=-\sqrt{\frac{12}{5}}. Estos altos, se estudiarán más adelante ya que, como se puede ver en la gráfica, son puntos que cambian la figura.
Desde el punto t=-\sqrt{\frac{12}{5}} empieza a decrecer la función hasta t=\sqrt{\frac{12}{5}}, donde la gráfica vuelve a crecer.
