Reglas para derivar funciones

Ejemplo
Si f(x)=5, determine f'(x).

Solución
Por definición

Teniendo en cuenta que la función es constante, se tiene que: f(x+Δx)=5, entonces:

En conclusión, si f(x)=5, entonces: f´(x)=0, y si f(x)=k, siendo k una constante arbitraria, entonces: f´(x)=0.

Ejemplo 1
Si f(x)=x², hallar la derivada de f(x).

Solución
En este caso se debe determinar la derivada usando la definición de límite:

Ahora, mediante la definición dada en un comienzo donde se determina la derivada de forma directa con f'(x)=nx^n-1, se tiene:

Ejemplo 2
Si f(x)=15x⁶, determine f'(x) de forma directa utilizando la regla de la potencia para la derivada de una función.

Solución
Se debe recordar que m=15 y la función es x, por lo tanto:
Entonces: f'(x)=15(6x⁵).

Demostración

Por lo tanto, si f(x)=g(x)+h(x), entonces: f´(x)=g´(x)+h´(x).

Ejemplo
Determinar la derivada de: f(x)=3x⁴+x

Solución

Ejemplo

Hallar la derivada de:

f(x)=(4x-3x²)(2+5x).

Solución
f'(x)=(4-6x)•(2+5x)+(4x-3x²)•(5)
f'(x)=8+8x-30x²+20x-15x²
f'(x)=-45x²+28x+8

Comprobación del ejemplo

Es posible comprobar el resultado obtenido en el ejemplo anterior calculando, como primer paso, el producto de las dos expresiones y aplicando posteriormente la regla de la potencia a cada uno de los términos de la expresión extendida:

f(x)=(4x-3x²)(2+5x)
f(x)=8x+20x²-6x2-15x³
f(x)=-15x³+14x²+8x

Simplificando y ordenando:

f'(x)=-45x²+28x+8

Es decir que el cálculo fue correcto.

Ejemplo

Derivar la función:



Utilizando la regla del cociente.

Solución


Por lo tanto: