La “Formulación y ejecución” es otra de las competencias evaluadas por la prueba Saber Pro en el campo de las Matemáticas, la cual se define como la habilidad que tiene un individuo para proponer y ejecutar estrategias de solución a un problema o ejercicio que involucre diferentes objetos y conceptos matemáticos e información de tipo cuantitativo.

En esta unidad se presentan ejercicios y problemas tipo prueba Saber Pro, en las que se usa información de tipo cuantitativo y se muestran métodos de modelación abstracta de los mismos, con el fin de hacer uso de herramientas y conceptos matemáticos para plantear una serie de pasos adecuados para solucionar las preguntas planteadas. Además, se muestran diferentes estrategias para dar solución a una misma situación y se evalúa la utilidad de los modelos establecidos y los procesos empleados.

Al igual que en la unidad anterior, se presenta información matemática correspondiente a tres ramas de la matemática: Geometría, Estadística y Álgebra y Cálculo, puesto que son las que están comprendidas en la prueba.

Propósito general

Diseñar y poner a prueba estrategias de solución a problemas en contextos cuantitativos.

Propósitos específicos

• Resolver ejercicios y situaciones problema de formulación y ejecución en contextos algebraicos y de cálculo.
• Resolver ejercicios y situaciones problema de formulación y ejecución en contextos geométricos.
• Resolver ejercicios y situaciones problema de formulación y ejecución en contextos estadísticos.

A continuación se presenta de manera clara y detallada los conceptos de paralelismo y continuidad, sin embargo, este último concepto se desarrollará de manera breve, puesto que también hace parte de la tercera unidad.

Relaciones entre rectas

De acuerdo con la posición de las rectas, se puede establecer entre estas una serie de relaciones. A continuación, se definen y ejemplifican algunas de ellas:

• Rectas paralelas

  Dos rectas son paralelas entre sí, si no hay intersección entre ellas.

• Rectas perpendiculares

  Si dos rectas se intersecan y el ángulo que se forma entre ellas es recto, entonces las rectas son perpendiculares.

• Rectas secantes

  Dos rectas son secantes si se intersecan en un único punto.

Ángulos alternos internos entre paralelas

Dadas dos rectas paralelas y una tercera secante a ellas se definen ángulos alternos internos a aquellos ángulos que se encuentran situados entre las rectas paralelas, pero a diferentes lados de la recta secante.

Ángulos alternos externos entre paralelas

Dadas dos rectas paralelas y una tercera secante a ellas, se definen ángulos alternos externos a aquellos ángulos que no se encuentran situados entre las rectas paralelas y se encuentran a diferentes lados de la recta secante. Revise un ejemplo de ángulos alternos externos.

A continuación, se presentan las funciones continuas y discontinuas, que le permitiran la comprensión y el desarrollo de las actividades de aprendizaje. Estos conceptos serán ampliados más adelante.

Actividad de aprendizaje

Ahora que ya revisó el contenido de este tema, descargue los aplicativos de Geogebra y realice las siguientes actividades.

En este tema veremos los conceptos de conteo y probabilidad. Inicialmente presentaremos algunos conceptos básicos para facilitar la compresión del desarrollo de los temas.

Conceptos básicos de probabilidad

• Experimentos aleatorios

  Cuando realizamos un experimento de manera repetitiva, bajo las mismas condiciones, comenzamos a notar que los resultados empiezan a comportarse de forma similar. Pero también hay experimentos en los que esto no ocurre, a este tipo de experimentos se les conoce como experimentos aleatorios. Ver (ejemplo).

• Espacios muestrales

  Son el conjunto de los posibles resultados que se pueden obtener al realizar un experimento aleatorio. Por ejemplo: al lanzar un dado de seis caras, los posibles resultados son D= {1, 2, 3, 4, 5, 6} o al lanzar una moneda, el conjunto de resultados posibles es M= cara, sello.

Probabilidad

La probabilidad de un evento corresponde a un número entre cero y uno, y representa la medición de la oportunidad de su ocurrencia. Entre más cercana de uno se encuentre la probabilidad, mayor será oportunidad de ocurrencia. Revise el siguiente ejemplo.

Probabilidad condicional

Puede establecerse entre dos sucesos A y B siempre que la P(A) > 0. La probabilidad condicional indica que se debe determinar la ocurrencia del evento B dado que se sabe que el evento A ha ocurrido. Revise el siguiente ejemplo.

Conteo

• Permutación

  En matemáticas, el concepto permutación se emplea para indicar cambios o variaciones de orden y posición de los elementos de un conjunto dado. Revise el siguiente ejemplo.

• Combinación

  En matemáticas, una combinación es considerada como un arreglo de los elementos de un conjunto, estos arreglos se consideran diferentes si los elementos del mismo son distintos. Revise un ejemplo.

Actividad de aprendizaje

Le invitamos a realizar las siguientes actividades.

A continuación, se presenta los conceptos de funciones, las diferentes clases y sus relaciones matemáticas.

¿Qué es una función?

El término función se emplea para expresar la relación de dependencia que hay entre dos cantidades. Por ejemplo, la cantidad de kilómetros que recorre un auto en función del tiempo, en otras palabras, la velocidad de este.

Profundice sobre el concepto de función.

Funciones crecientes y funciones decrecientes

De acuerdo con el comportamiento de la función, esta puede clasificarse de diferentes maneras, como veremos a continuación.

• Funciones crecientes

  Una función es creciente en un intervalo si a medida que aumentan los valores de x, también aumentan los valores de f(x). Por ejemplo.

• Funciones decrecientes

  Una función es decreciente en un intervalo si a medida que aumentan los valores de x, disminuyen los valores de f(x). Veamos un ejemplo.

Funciones continuas y discontinuas

• Funciones continuas

  Una función es continua si su representación gráfica no presenta interrupción alguna, esto significa que, si se realiza un trazo a mano alzada de dicha función, el trazo es único y no se hace necesario levantar el lápiz del papel para ello. Por ejemplo, las funciones continuas vistas anteriormente.

• Funciones discontinuas

  Una función es discontinua si su representación gráfica presenta algún tipo de interrupción, en otras palabras, no es posible realizar el trazo de esta sin levantar el lápiz del papel. A continuación, podrá ver un ejemplo.

Funciones a trozos

Una función a trozos es aquella cuyo comportamiento varía de acuerdo con el intervalo que se esté analizando, el Dominio de una función a trozos es la unión de los conjuntos que representan el dominio de cada trozo de la función. Revise el siguiente ejemplo de una función a trozos.

Actividad de aprendizaje

Le invitamos a realizar el siguiente videotest donde podrá resolver una situación problemática de Formulación y ejecución en funciones y relaciones.

Material de apoyo

En esta unidad se estudiaron tres temas fundamentales:

• Formulación y ejecución en paralelismo y continuidad, donde resaltamos las relaciones entre rectas y la ejemplificación de las rectas paralelas, perpendiculares y secantes, a la vez que vimos los ángulos alternos internos y externos entre paralelas.
• Formulación y ejecución en conteo y probabilidad, donde conocimos algunos conceptos básicos de probabilidad y probabilidad condicional, y los experimentos aleatorios y espacios muestrales, cada uno de ellos con ejemplos prácticos.
• Formulación y ejecución en funciones y relaciones, donde presentamos qué son las funciones y sus diferentes clases.

Además, trabajamos actividades prácticas y un videotest que nos ayudó a fortalecer el análisis de casos y preguntas tipo prueba Saber Pro.