Siendo el concepto de función uno de los más importantes en el mundo de las matemáticas, por su gran implicación en la vida diaria y por ende en la ingeniería, su modelamiento y aplicabilidad no se podía dejar de lado.

La función es una relación que asigna a cada variable de entrada exactamente un variable de salida. Saber dibujar una función para su análisis es de vital importancia, al igual que sus transformaciones y su operatividad. También, por su extenso uso en fenómenos de crecimiento, la función exponencial es denominada función de crecimiento y a la función logarítmica su inversa. Dos de los tipos más importantes de las funciones.

Con frecuencia en la vida real hemos escuchado a personas diciendo: “las tasas de interés están en función de los precios del petróleo”, o “el modelo de la pensión está en función de los años trabajados”, o “la concentración de alcohol en la sangre después de beber está en función del tiempo”, algunas veces tales expresiones concuerdan con el significado matemático. Entonces tendremos dos cantidades relacionadas entre sí: una variable independiente y otra dependiente.

En esta unidad se propone empezar de lo básico, planteando funciones básicas y diferenciando sus clases, haciendo operaciones entre ellas y graficándolas de acuerdo a la tabla de valores.

Material de apoyo

Objetivo general

Definir e interpretar las diferentes funciones, sus características fundamentales, la construcción de sus gráficas y la aplicación en diferentes temas de administración y economía.

Objetivos específicos

• Analizar los diferentes tipos de funciones y sus características principales: dominio, rango, intercepto, simetrías.
• Aplicar los conceptos de función en temas como: demanda, oferta, costos, ingresos.
• Modelar distintas situaciones mediante una función.
• Graficar e interpretar las funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas aplicadas a problemas propuestos.

Una función f es una regla que asigna a cada elemento o número de entrada llamado x, exactamente un elemento o número de salida llamado f(x), el elemento se denomina variable independiente y el elemento llamado f(x) se denomina variable dependiente. Al conjunto de todos los números de entrada o valores que toma la variable independiente se denomina dominio, al conjunto de todos los números posibles que toma la variable dependiente se le denomina rango o codominio.

Se suele representar de cuatro maneras distintas:

1. Un enunciado verbal que describe las condiciones iniciales del problema.
2. Un diagrama de Venn.
3. Una tabla relacionando algunos valores.
4. Una ecuación que liga las variables y hace solucionable el problema.

Existen funciones que se usan ampliamente por sus aplicaciones, algunas de estas son: constantes, lineales, cuadráticas, polinomiales, racionales, a trozos o definida por partes y valor absoluto.

Las funciones polinomiales de grado uno se llaman funciones lineales y las funciones de grado dos se llaman funciones cuadráticas. El dominio de las funciones polinomiales son todos los números reales ℝ.

Función lineal: es una función de variable real, es decir que su raíz es un número real, definida por: y= f(x)=mx Donde m es un número real llamado pendiente de la recta o inclinación; que representa su gráfica, de ahí su nombre. Se aclara que esta recta pasa por el origen de coordenadas. Cuando no pasa por el origen se le llama función AFÍN pero es solo un caso particular de la función lineal, su diferencia aparte de su gráfica radica en su ecuación que está dada por: y=f(x)=mx+b, la b como número real representa el intercepto o cruce con el eje y.

Función cuadrática: es la función de forma f(x)=ax²+bx+c donde a,b,c son constante y a≠0, su gráfica es una parábola, el dominio y el rango son todos los números reales ℝ. Si a>0 su gráfica abre hacia arriba y si a<0 la gráfica abre hacia abajo.

A continuación estudiemos las demás funciones: radicales, racionales, definida por partes y valor absoluto.

Material de apoyo

Se pueden hacer cambios sobre una función original al cambiar detalles en su ecuación. Por ello, estudiaremos las traslaciones (horizontal y vertical) y reflexiones (eje x y eje y).

De igual manera, analizaremos las funcione para identificar cuáles son pares o impares.

Con base en lo anterior, se presenta una tabla de transformaciones como una compilación de lo expuesto..

De dos o más funciones se pueden obtener nuevas funciones, que son a su vez combinaciones de las iniciales. Estas combinaciones se conocen como álgebra de funciones, las cuales son:

• Suma de funciones.
• Resta de funciones.
• Producto de funciones.
• Cociente de funciones.
• Composición de funciones.

Veamos dos ejemplos del álgebra de funciones y así comprender mejor este tema.

Material de apoyo

Si una función 𝑓 es inyectiva con dominio A y rango B. Entonces tiene una función inversa que está definida de la siguiente manera:

f(x) = y⇒ f ^-1(y) = x

En donde el dominio de la nueva función f ^-1 es el rango de f, y el rango de f^-1 es el dominio de 𝑓. Para hallar la función inversa se debe expresar la variable independiente en función de la dependiente y esta nueva función es denominada inversa. Para comprobar si una función es inversa de otra función se utiliza el siguiente criterio:

(f o f ^-1) = x = (f ^-1 o f)

Solo en este caso la composición de funciones sí es conmutativa.

De acuerdo con los pasos que hay que seguir para hallar la inversa de una función, se presenta este ejemplo para mostrar el proceso paso a paso.

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Función exponencial

Una función exponencial se define de la siguiente manera:

f(x) = b^x

Donde b>0, b≠1, es la base y x cualquier número real de la función exponencial.

Función logarítmica

Una función logarítmica se define de la siguiente manera:

f(x) = log_a X

Donde a es la base de la función logarítmica. Es decir, el comportamiento de la función logarítmica.

Hay una relación entre la función exponencial y la función logarítmica, y es la siguiente:

y = log_a x ⇔ a^y = x

Según lo anterior, esto cumple la definición de una función inversa, es decir la función logaritmo y la función exponencial son funciones inversas entre sí.

Con base en lo anterior, se exponen ejemplos de cada función.

Material de apoyo

Las funciones se han usado para modelar constantes fenómenos tanto físicos como matemáticos con el fin de tener un mejor entendimiento de estos fenómenos y poder elaborar modelos matemáticos que son más fáciles de abordar que modelos netamente experimentales.

Veamos el siguiente ejemplo de aplicación.

Actividad de aprendizaje

Le invitamos a realizar la siguiente actividad relacionada con lo estudiado en esta unidad, escoge las respuestas correctas y evalúa lo aprendido.

En esta cuarta unidad, comenzamos con la definición de función y las variables que intervienen, su dominio y su rango de la misma manera que sus representaciones: enunciado verbal, tablas de valores, ecuaciones o fórmulas y gráficas que permiten de diferentes manera encontrar la relación de las variables.