En este punto es indispensable que el estudiante recuerde y comprenda conceptos de expresiones algebraicas, pues de ahí depende que entienda la forma de plantear, resolver e interpretar una respuesta de un ejercicio sobre ecuaciones.

Su aplicación directa es el planteamiento de dos cantidades relacionadas por medio de constantes o números, letras y operaciones que las ligan. Aquí las igualdades de dos polinomios, a diferencia del álgebra, se relacionan entre sí.

En esta unidad del módulo trataremos la teoría de las ecuaciones en general, empezando con el tema de la ecuación lineal. Luego DE la ecuación cuadrática seguimos con las ecuaciones de índice superior, las aplicaciones en ejercicios de estas ecuaciones, para seguir con el tema de las desigualdades, sus aplicaciones y finalmente con sistemas de ecuaciones de primer grado o lineales y no lineales, en general.

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Objetivo general

Modelar situaciones que se describen por medio de ecuaciones lineales, cuadráticas, de orden superior o inecuaciones; aplicando varias técnicas algebraicas para resolverlas, dando solución a problemas propios de su área de formación.

Objetivo específicos

• Comprender el concepto de ecuación como una igualdad en la que hay que hallar el valor de la incógnita que la hace verdadera.
• Identificar los procedimientos para la transposición de términos en una ecuación para transformar una ecuación en otra equivalente más sencilla.
• Aplicar los distintos métodos de solución en los sistemas de ecuaciones lineales, cuadráticas e inecuaciones.
• Resolver ecuaciones cuadráticas por métodos de factorización y utilizando la fórmula cuadrática.
• Utilizar con actitud crítica modelos matemáticos de fenómenos vinculados con Economía, Administración y otras asignaturas de la carrera, planteados mediante ecuaciones o inecuaciones.

Una ecuación es una proposición que significa que dos expresiones algebraicas son iguales. Las dos expresiones separadas por el signo igual se denominan miembros. Los literales de estas expresiones algebraicas son denominados variables.

Una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas al exponente uno (1). Son llamadas lineales porque se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano.

Resolver una ecuación significa hallar la solución o valor de la incógnita, mediante el uso de ciertas técnicas, a lo cual se le llama hallar sus raíces. Veamos algunos ejemplos de las diferentes clases de ecuaciones.

Son aquellas ecuaciones que se pueden escribir de la forma ax² + bx + c = 0 donde a, b y c son constantes y a≠0. También se conocen como ecuaciones de segundo grado. La solución de este tipo de ecuaciones da como resultado dos raíces únicas.

Los métodos más utilizados para la solución de las ecuaciones cuadráticas son la factorización y la fórmula cuadrática.

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Para resolver una ecuación de índice mayor a dos, se procede a aplicar la regla de Ruffini o división sintética, que sirve para factorizar un polinomio de grado mayor que dos. Ya que la ecuación está igualada a cero, al factorizar el polinomio las raíces se obtienen igualando a cero los cuatro factores resultado de dicha factorización; tal como se ejemplifica en el medio de pantalla.

La división sintética es una forma de dividir un polinomio entre un binomio de la forma donde a es un número entero. Ésta se usa para demostrar si un binomio es múltiplo de un polinomio específico.

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Al hablar de aplicación del tema de ecuaciones a la vida real nos encontramos con numerosos ejercicios y problemas en cada ámbito y contexto que se quiera, en la industria, en la economía, en la ingeniería y en general en cualquier área en donde dos magnitudes estén comparándose cuantitativamente.

En la mayoría de casos, para resolver problemas prácticos, deben traducirse las relaciones a símbolos matemáticos, esto se conoce como modelado. A continuación dos ejemplos de aplicación.

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Una desigualdad es un enunciado en donde se establece que una expresión puede ser menor (<), mayor (>), menor o igual (≤) o mayor o igual (≥) a otra expresión. Cuando las expresiones son algebraicas, son conocidas como inecuaciones, ya que a diferencia de las ecuaciones no se posee una igualdad sino una desigualdad.

La característica principal de las inecuaciones o desigualdades es que la solución no es un número sino un intervalo o una unión de estos sobre la recta real. Al igual que las ecuaciones, las inecuaciones poseen propiedades para ser resueltas de una manera sencilla y rápida.

Para la solución de las desigualdades es importante introducir el concepto de intervalo, un subconjunto de la recta real, que contiene a todos los números reales que están comprendidos entre dos números cualesquiera (a,b), denominados extremos del intervalo. Geométricamente los intervalos corresponden a segmentos de recta, semirrectas o la misma recta real.

Al igual que las ecuaciones lineales, las desigualdades lineales se caracterizan porque sus variables son de grado uno, y se resuelven siguiendo las propiedades de desigualdades expuestas anteriormente.

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La forma más fácil de enfrentarnos a la aplicación de las inecuaciones es traduciendo lenguaje de problemas de lo común a lo matemático, según las características del problema y según su condicionalidad o requerimientos específicos, ponerle el signo mayor o menor que, haciendo la diferencia al resolverla.

Los problemas para carreras como administración o economía son comunes y múltiples para el tema de inecuaciones, más especialmente para inecuaciones cuadráticas, cuya resolución es un poco más compleja que la solución de una inecuación lineal vista en el tema anterior; a continuación un par de ejemplos.

De forma intuitiva se dice que el valor absoluto de un número real es su valor sin tener en cuenta el signo.

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Los sistemas de ecuaciones lineales son llamados 2x2 cuanto tienen dos ecuaciones y dos incógnitas o 3x3 cuando aumenta una ecuación y una incógnita. Son la reunión de dos o más ecuaciones lineales que se satisfacen con los mismos valores de las variables. Dichas ecuaciones por separado serían imposibles de solucionar, por ello se unen las dos con un corchete y se resuelven mutuamente, una con la otra.

Hay tres métodos usados para resolver estos sistemas: por sustitución, igualación y eliminación o reducción.

A continuación se presentan los sistemas con tres variables, los pasos para su solución y un ejemplo para comprenderlo mejor.

Un sistema de ecuaciones no lineales es aquel donde una de las ecuaciones no es lineal. Este sistema se resuelve por métodos de sustitución.

Una vez estudiada las ecuaciones y las inecuaciones, estudiemos estos ejemplos de aplicación.

Actividad de aprendizaje

Le invitamos a realizar la siguiente actividad. Relacione los conceptos fundamentales de las ecuaciones e inecuaciones con su respectiva definición.

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La importancia de las ecuaciones y las inecuaciones son la traducción directa de un problema contextualizado y transformado en forma matemática. Solucionar una ecuación significa hallar el valor de la incógnita por diversos métodos. La escogencia de éstos se da de acuerdo al problema y a la ecuación planteada.

En esta unidad se expusieron los temas de ecuaciones lineales, sus propiedades y métodos de solución. Así mismo se estudiaron las ecuaciones cuadráticas, sus métodos de solución por factorización, aplicando la fórmula cuadrática, y sus aplicaciones en la administración y economía. Lo mismo sucedió con las ecuaciones superiores.

De igual forma, se presentaron los conceptos de igualdades, desigualdades o inecuaciones e intervalos, valor absoluto y sistemas de ecuaciones con los diferentes métodos algebraicos de solución. Todo esto le permite al estudiante, tener un gran dominio de dichos temas, los cuales serán abordados en la unidad de funciones, y aplicar en el desarrollo de problemas de su carrera profesional.

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