Una vez conceptualizados y aprendidos las axiomas de los números reales, los aplicaremos en las temas algebraicos y así poder ampliar en procedimientos generalizados como: operaciones algebraicas, productos notables, factorización, operaciones con expresiones y fracciones algebraicas que le permitan al estudiante generar destrezas operativas matemáticas fundamentales; las cuales propondrá el desarrollo y el modelado de los temas de ecuación y su solución.

El manejo del álgebra es una bella utilización del lenguaje matemático que generaliza el concepto de cantidad, ampliando el de cardinal de un conjunto a una variable o letra que puede tomar cualquier valor.

La combinación de cantidades numéricas y literales, uniéndolos con signos de agrupación y operaciones de suma, resta, multiplicación y división; exponenciación y radicación resultan expresiones algebraicas que representan la información de problemas reales.

Objetivo general

Manejar expresiones algebraicas, sus operaciones y procedimientos de suma, resta, multiplicación, división con polinomios, productos notables, factorización, potenciación y radicación, y sus aplicaciones en la solución de problema.

Objetivos específicos

• Adquirir la destreza en el manejo de operaciones básicas con expresiones algebraicas.
• Aplicar correctamente los casos de factorización para la simplificación de un procedimiento matemático.
• Aplicar correctamente las propiedades de la potenciación y radicación en la solución de problemas con fracciones algebraicas.

Los conceptos generales del álgebra son definiciones de mucha importancia, pues son el insumo para la comprensión posterior de temas de mayor complejidad.

Una expresión algebraica está formada por la combinación de números, letras, signos de operación (+,-,x,÷,√,xⁿ), signos de agrupación ((),{},[]) y signos de relación (=,>,<,≤,≥). A las cantidades separadas por los signos + o - se les denomina términos.

Los términos están formados por factores que pueden ser números o letras. A los números se les llama coeficientes numéricos y son constantes. Dos o más términos son semejantes cuando la parte literal es la misma y sólo difiere en su coeficiente numérico.

A una expresión algebraica, contenida dentro de signos de agrupación, precedida por el signo más (+) o menos (-), se le puede suprimir el signo de agrupación dejando todos los términos con el signo que se hallan dentro de él. Veamos estos ejemplos.

Material de apoyo

Las operaciones principales entre polinomios son la suma, resta, multiplicación y división.

Cada una de ellas mediante un proceso correcto lleva a una respuesta simplificada y rápida. Suelen tener diversos pasos en su solución, en esta interactividad se explicará cada una de ellas.

Los productos y cocientes notables son reglas asignadas a ciertos productos y cocientes que permiten hacer las operaciones más rápido aplicando ciertas técnicas, sin necesidad de hacer la operación completa, pues a veces resulta larga y dispendiosa.

Productos notables: estos cumplen reglas fijas y su resultado puede ser determinado por simple inspección, es decir sin la realización de la multiplicación.

Cocientes notables: Se le llaman así a ciertos cocientes que obedecen a reglas fijas y que pueden ser solucionados por simple inspección.

Es obtener factores o divisores que sean a su vez polinomios de una expresión algebraica que multiplicadas entre sí sean equivalentes a la expresión original.

Con la factorización se busca encontrar un procedimiento en búsqueda de factores que simplifique una expresión en otra más básica, con exponentes más simples y en forma de producto. Estudiemos las reglas de factorización.

Los casos de factorización que implican un procedimiento más largo y de más cuidado se muestran en esta interactividad, aunque son menos usados, no se descarta su aparición en algún ejercicio práctico.

Para explicar cada uno de los casos descritos en la gráfico se debe tener en cuenta lo siguiente:

Para el primer ejemplo sería un trinomio cuadrado si el segundo término fuera para ello la suma de lo que le falta para obtener esto y luego se resta para no alterar el valor del polinomio, así:

a⁴+a²+a²+1-a²

a⁴+2a²+1-a²

Los tres primeros términos ya son un trinomio cuadrado perfecto que se factoriza así: (a²+1)² menos el término que se restó para no alterar el trinomio -a².

El nuevo trinomio es una diferencia de cuadrados, que se factoriza de esta forma:

(a²+1)² - a²=

[(a² + 1)-a] [(a²+1)+a]=

x⁵ + 32 (a²-a+1) (a²+a+1)

Una fracción algebraica es el cociente de dos expresiones algebraicas. Estas fracciones pueden ser simples o compuestas y poseen operaciones entre ellas como lo son la suma, la resta, la multiplicación y la división.

Existen fracciones complejas, las cuales son aquellas que posee en el numerador o denominador fracciones algebraicas o expresiones mixtas. Se debe desarrollar mediante simplificación y el producto de medios y extremos. Una fracción algebraica compuesta se puede convertir en una simple equivalente. Para ello se debe comenzar a desarrollar las operaciones indicadas de abajo hacia arriba.

De acuerdo con lo anterior, estudiemos el siguiente ejemplo de fracciones complejas.

Material de apoyo

Es un procedimiento empleado en la simplificación de fracciones algebraicas que tiene una expresión radical en su denominador. Expresándose como una fracción equivalente sin radicales en su denominador. Para racionalizar un denominador se usan ciertas técnicas descritas en la siguiente ampliación temática.

Dos expresiones que contienen radicales de segundo grado y que se diferencian solamente por el signo que une sus términos se les denominan conjugadas.

Veámos los siguientes ejemplos, los cuales son aplicaciones de toda la unidad.

El álgebra se usa para generalizar cantidades, para ampliar resultados y poder resolver problemas de complejidad.

En esta segunda unidad, se hace un repaso de expresiones algebraicas y se desarrollan los ocho casos de factorización más comunes. También se trabaja con fracciones algebraicas mostrando sus características (simples o compuestas) y también se realizan operaciones entre ellas.

Se sigue con la definición del concepto de racionalización, con lo que se hace un acercamiento a las fracciones algebraicas con radicales en su denominador. Además se presentan cuadros resumen de algunos conceptos algebraicos.

Actividad de aprendizaje

Completa la siguiente tabla y pon a prueba lo estudiado en la unidad.