La matemática tiene como objetivos en la estructura del pensamiento la estructuración del pensamiento lógico, el aprendizaje y solución de problemas aplicados a cierto campo de acción y la utilización de técnicas de solución y planteamiento de nuevas estrategias en cada carrera específica a las que se tenga que recurrir para solucionar problemas o tomar decisiones.

En esta primera unidad, del módulo de matemáticas I, se propone el concepto de conjunto y toda su teoría; trabajo que venimos desarrollando desde la educación primaria pero que con los años de experiencia académica hemos ampliado y generalizado de manera, que ya su estudio no se limita solo a sus definiciones básicas, operaciones y diagramas de Venn como representaciones, sino a un conglomerado de aplicaciones en cada campo específico de conocimiento que realmente lo van a sorprender.

Para su estudio lo hemos dividido en dos grandes subtemas: el de conjuntos en sí y el del conjunto de los números reales, como representante fundamental de toda la matemática básica o lo que anteriormente se conocía como aritmética. Con esto se quiere recoger todos los conocimientos adquiridos desde los comienzos de la infancia en matemáticas y darles una real estructuración para que se dejen de ver como entes abstractos y funcionen como objetos reales y activamente presentes todo el tiempo en aplicaciones directas del campo de acción requerido.

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Objetivo general

Manejar los axiomas, operaciones y procedimientos de la matemática básica en el concepto de conjuntos y números reales.

Objetivos específicos

• Comprender el concepto de conjuntos y sus operaciones.
• Manejar las propiedades y operaciones en los números reales.
• Solucionar problemas de números reales.

La idea intuitiva de conjunto es una colección bien definida de objetos, llamados elementos, que guardan cierta relación entre sí. En otras palabras, un conjunto es una agrupación o colección de objetos, personas, proyectos, etc., con características bien definidas que permiten realizar operaciones entre el mismo conjunto o entre otras agrupaciones teniendo en cuenta sus propiedades; a cada uno de estos objetos se les denomina elementos del conjunto.

Por ejemplo, existen los números naturales, los números enteros, los números radicales, los irracionales, los cuales forman el conjunto de los números reales, los vectores, las raíces de una ecuación, etc. Su representación gráfica se da a través de diagramas de Venn y matemáticamente entre llaves. Al nombrar a los conjuntos se debe hacer con letras en mayúsculas.

Es importante destacar ciertos conceptos fundamentales para el desarrollo de esta unidad.

Existen diferentes técnicas para resolver este tipo de problemas, una de las cuales hace uso de los diagramas de Venn-Euler, ya antes mencionado, otra de ellas emplea tablas, en donde se representa la información más importante y una tercera técnica es por medio de fórmulas para obtener el número de elementos. Veamos un ejemplo desarrollado por diagramas de VenEl Conjunto de los números realesn y por fórmulas.

Ahora bien, en los conjuntos se encuentran cinco operaciones que se pueden realizar entre ellos: unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y disyuntiva.

El Conjunto de los números reales (ℝ) está formado por la unión del conjunto de los números racionales (L) y el de números irracionales (I); es decir

Todo número entero es racional pues se puede expresar como el cociente entre el mismo y la unidad, como

pero no todo racional es entero, es decir los enteros están incluidos en los racionales no al revés.

Geométricamente, todos los números reales se pueden representar en la recta real mediante puntos. Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.

El conjunto de los números reales es el más completo de todos los conjuntos numéricos además de ser explícito en sus propiedades. Es aplicable a un sin número de ejercicios para resolver situaciones en varios campos de acción en la vida moderna.

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Definimos número racional a la expresión matemática que expresa la cantidad de partes en que se divide la unidad principal, el cual consta de dos términos llamados numerador y denominador. El numerador indica el número de partes que se toman de la unidad y el denominador indica en cuántas partes iguales se ha dividido la unidad. Todo fraccionario puede considerarse como el cociente de una división en donde el numerador es del dividendo y el denominador, el divisor. Se denota así:

Los fraccionarios pueden ser propios o impropios, los cuales a su vez pueden simplifcarse o ampliarse.

Es importante revisar cómo se realizan las operaciones básicas entre fracciones para verificar propiedades y poder desarrollar más adelante ejercicios de mayor complejidad.

La potenciación es una operación de un rango un poco más complejo que el que se venía manejando hasta el momento con las cuatro operaciones básicas. Hace referencia a la multiplicación sucesiva de un mismo número, llamado base. Las veces que se multiplica se llama exponente y el resultado de multiplicar ese mismo número las veces que indica el exponente se llama potencia, así:

3⁵ = 243

Donde 3 es la base, 5 es el exponente y 243 es la potencia, la cual se obtuvo al multiplicar sucesivamente 3 cinco veces = 3X3X3X3X3=243.

Entonces, el producto de números iguales se puede escribir en notación exponencial. Al realizar ejercicios de aplicación de la potenciación de números reales se hace necesario el uso de propiedades de mucha importancia y que hay que tener presentes cada vez que se aborde un ejercicio de este tipo.

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Si rⁿ = x, donde n es un entero positivo, entonces r es una raíz n-ésima de x. Las segundas raíces, el caso de n=2, se llaman raíces cuadradas; y las raíces terceras, el caso n=3, se llaman raíces cúbicas.

Algunos números no tienen raíz n-ésima que pertenezca al conjunto de los números reales. Por ejemplo, como el cuadrado de cualquier número real no es negativo, no existe un número real que sea una raíz cuadrada de -4. La raíz n-ésima principal de x es positiva si x es positiva y es negativa si x es negativa y n es impar, veamos los siguientes ejemplos.

La radicación se denota así:

Donde n se llama índice, x se llama cantidad subradical o radicando y el resultado se llama raíz. El símbolo se denomina radical.

Siempre que una raíz es de índice 2, es decir, cuadrada se omite el índice y solo se deja el símbolo radical, así:

A continuación estudiemos las propiedades y operaciones de los radicales para así comprender mejor el tema y por ende, su posible aplicación.

La aplicación de los números reales es amplia. En la secundaria proporcionan elementos fundamentales en la comprensión de procesos y algoritmos matemáticos más avanzados, al mismo tiempo proporcionan los insumos para comprender y plantear solución a ecuaciones; ya en último grado, se quiere lograr que los estudiantes propongan soluciones a problemas de ecuaciones aplicados a ciertos campos de acción.

A nivel universitario se comienza con un repaso de todo el bachillerato de forma conceptual y luego aplicativa en ejercicios que estudian las propiedades y sus operaciones, para dar solución a ecuaciones y la simplificación, por medio de sus leyes y propiedades, a procedimientos que sin estas técnicas resultarían dispendiosos y largos.

Al hablar de la aplicación que tiene los números reales, se puede uno quedar corto para enumerar el sinnúmero de casos y ejemplos en donde se aplican las operaciones entre números y todas las propiedades con las que a diario nos vemos abocados al enfrentar solución de una ecuación, o un tema de cálculo más avanzado, este es el primer eslabón en la comprensión de procedimientos más complejos que verá a lo largo de su carrera. Es el primer ingrediente para su larga receta profesional.

A continuación se presenta una serie de ejercicios para poner a prueba lo aprendido hasta aquí.

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La utilidad y el manejo de los números reales es utópico, ya que es un tema tan amplio que de ninguna manera se puede simplificar a unos cuantos renglones.

En esta primera unidad se hace un recuento sobre la teoría de conjuntos, sus operaciones y sus aplicaciones en los números reales, que son la unión entre los conjuntos de números racionales e irracionales empezando por sus propiedades, la potenciación y la radicación.

Sin embargo, la utilidad que se le da a los números reales es aún mayor, desde la resolución de ejercicios de matemática básica, como manejo de operaciones y sus principales propiedades, hasta la solución de ecuaciones para abordar problemas más complejos donde se busca analizar datos, encontrar una respuesta a una medida pedida o presupuestos esperados.

La mecánica que implica el manejo de operaciones con los números reales y sus propiedades es fundamental para profundizar otros conceptos requeridos en otros campos específicos. Por ejemplo, para poder conducir perfectamente un automóvil es necesario establecer una maniobrabilidad entre las diferentes partes del auto, así debemos poder manejar de manera correcta cada una de las herramientas de los números reales.