Introducción

En esta unidad se realiza el estudio de discretización como un método más para aplicaciones enfocadas a señales y sistemas. Se desarrolla un análisis del muestreo que existe en señales para el manejo de la información y se abordan temáticas que relacionan la transformada de Laplace y la transformada Z.

Mediante diferentes propiedades y con el estudio realizado, se logra una relación conceptual de la variedad de aplicaciones que pueden existir en el procesamiento digital de señales y la importancia que existe en aplicaciones de ingeniería aplicada, para el manejo de señales en sistemas que implican la voz, el video y los datos.

Propósitos de aprendizaje

Propósito general

Resolver problemas mediante conceptos y herramientas matemáticas que permiten la discretización para el análisis y caracterización de señales y sistemas.

Propósitos específicos

  • Entender la importancia de la discretización de sistemas para diferentes aplicaciones en el procesamiento digital de señales.
  • Analizar la transformada de Laplace como herramienta matemática para el análisis de sistemas representados con ecuaciones diferenciales.
  • Entender la importancia de la transformada Z para el análisis de sistemas en discreto representados con ecuaciones en diferencias.

Muestreo

Actualmente, la mayor parte del procesamiento de señales se realiza de forma digital. Esto significa que las señales se transforman en números (valores discretos) y se manipulan mediante un ordenador (u otro sistema similar). Esta manipulación y, por lo tanto modificación de los valores en la secuencia de números que definían a nuestra señal, es lo que denominamos procesamiento de señales (Investigacion, 2012).

Cuando la señal ya es originalmente un conjunto de números, este proceso es natural.

Cuando la señal original no es un conjunto de valores discretos sino una variación continua a lo largo del tiempo, es necesaria una transformación para obtener la señal en forma digital. Esta transformación se conoce como conversión analógico - digital (A/D), que implica dos etapas: el muestreo y la cuantificación de la señal (Investigacion, 2012)

Le invitamos a ver el video de pantalla, para fortalecer los conceptos de muestreo.

Muestreo

Muestreo ideal y teorema del muestreo

El muestreo y la cuantización son aspectos críticos entre las señales analógicas y digitales.

El muestreo ideal describe una señal muestreada como una suma ponderada de impulsos, en la que los factores de ponderación son los valores de la señal analógica en los instantes donde ocurren los impulsos.

La figura 3 muestra los espectros de una señal limitada en banda, muestreada idealmente para tres valores de frecuencia de muestreo S. Siempre y cuando las imágenes no se traslapen, cada periodo es una réplica del espectro de la señal analógica escalada SX(f). Por tanto, puede extraerse X(f) (por tanto, x(t) al pasar la señal muestreada idealmente por un filtro pasa-bajas ideal con una frecuencia de corte 0,5S y una ganancia 1/S sobre el intervalo de frecuencia -0,5S ≤ f ≤ 0,5S. Este es el conocido Teorema del muestreo.

Le invitamos a revisar este ejemplo sobre la frecuencia de Nyquist.

Muestreo

Tipos de muestreo

Para hablar de tipos de muestreo se tienen en cuenta algunos de los que son considerados los más importantes por el autor como: muestreo de senoides y señales periódicas, muestreo natural y muestreo con retenedor orden cero.

Transformada de Laplace

Cuando se habla de modelos lineales de sistemas físicos, eléctricos, electromecánicos etc., se tienen ecuaciones diferenciales que representan su respuesta en dominio del tiempo.

La transformada de Laplace es un tipo de integral que converge y cuyo resultado es una función de S. Entonces toda función que se defina en el dominio del tiempo tiene su representación matemática por medio de Laplace en el domino de S.

En este capítulo se tratarán los métodos necesarios para señales y sistemas, en donde las ecuaciones diferenciales lineales son de gran importancia para el análisis determinado en el dominio del tiempo y la frecuencia.

Sea una función f definida para t ≥ 0 entonces la integral definida para la transformada de Laplace siempre y cuando converja es (Zill, 2010),

\mathcal{L}\left\{ f\left( t \right) \right\}=\underset{0}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,f\left( t \right){{e}^{-st}}dt

Le invitamos a revisar estos ejemplos relacionados con la transformada de Laplace.

Transformada de Laplace

Transformada inversa de Laplace

La idea principal de la transformada inversa de Laplace es tomar una función en el dominio de ‘s’ y llevarla al domino del tiempo ‘t’.

{{\mathcal{L}}^{-1}}\left\{ F\left( s \right)) \right\}=f\left( t \right)

Le invitamos a revisar estos ejemplos sobre la transformada inversa de Laplace.

Transformada de una función periódica

Este tipo de transformada es muy utilizada para señales donde el periodo de la función T > 0, entonces f (t + T), lo cual lleva al análisis de señales que se repiten en el tiempo. Para calcular su transformada por medio de Laplace se define:

\mathcal{L}\left\{ f\left( t \right) \right\}=\frac{1}{1-{{e}^{-sT}}}\underset{0}{\overset{T}{\mathop \int }}\,{{e}^{-st}}f\left( t \right)dt

Le invitamos a revisar un ejemplo sobre este tema.

Convolución

La convolución realizada por medio de Laplace se define para el producto de funciones continuas por tramos de [0,∞], entonces tenemos que:

Si f(t) y g(t) son funciones continuas

\mathcal{L}\left\{ f\left( t \right)*g\left( t \right) \right\}=\mathcal{L}\left\{ f\left( t \right) \right\}\mathcal{L}\left\{ g\left( t \right) \right\}=F\left( s \right)*G\left( s \right).

Su definición por medio de la integral se encuentra dada como:

f\left( t \right)*g\left( t \right)=\underset{0}{\overset{t}{\mathop \int }}\,f\left( \tau \right)g\left( t-\tau \right)d\tau

Le invitamos a revisar un ejemplo sobre convolución.

Transformada de Laplace

Sistemas de primer y segundo orden

Para encontrar soluciones en muchos sistemas representados mediante ecuaciones diferenciales, se debe analizar el orden de la ecuación diferencial, con el fin de orientar un método de respuesta específico.

La transformada de Laplace permite solucionar de una forma más sencilla muchos sistemas de primer y segundo orden, implementando su definición y llevando su proceso a métodos algebraicos. Se debe tener presente que este tipo de solución es explícita para sistemas lineales.

En esta sección se definirá la representación de ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden con la transformada de Laplace y, se mostrarán algunos ejemplos para entender mejor su aplicación y fácil manejo, para abordar diferentes áreas de la ingeniería.

Para aplicar el análisis y la solución de ecuaciones diferenciales con la Laplace, se relaciona el teorema de la transformada de la derivada, el cual define (Zill, 2010) :

SI f , f'………., f (n- 1 ) son continuas en [0,∞), son de orden exponencial y si f (n)(t)es continua por tramos en [0,∞), entonces,

\mathcal{L}\left\{ {{f}^{\left( n \right)}}\left( t \right) \right\}={{s}^{n}}F\left( s \right)-{{s}^{\left( n-1 \right)}}f\left( 0 \right)-{{s}^{\left( n-2 \right)}}{f}'\left( 0 \right)\ldots \ldots \ldots .-{{f}^{\left( n-1 \right)}}\left( 0 \right),~

donde F\left( s \right)=\mathcal{L}\left\{ f\left( t \right) \right\}

Transformada Z

La transformada Z es considerada como un método matemático con ciertas similitudes con diferentes transformadas, entre ellas, la de Fourier y Laplace. Su importancia se da fundamentalmente para reducir sistemas en donde existen ecuaciones en diferencias a métodos algebraicos lineales. La transformada Z es muy empleada en sistemas de comunicaciones, sistemas digitales y el análisis de señales para procesamiento de imágenes.

Se debe tener presente que esta transformada es compleja, por tanto, es importante recordar que Z se puede escribir como a+jb y debe ser escrita en forma polar:

z=\left| z \right|{{e}^{j2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ F}}}=\left| z \right|{{e}^{j\text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ }}}

para aplicaciones digitales.

La transformada Z se deriva de las series de Laurent y pueden ser graficadas en el plano complejo (z) o diagrama de Agrand.

A continuacion se analizarán algunas propiedades y características que son comunes en aplicaciones de ingeniería.

Transformada Z

Transformada Z Bilateral

La transformada Z bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x [n]se encuentra dada por una función X [z] de la siguiente manera:

X\left( z \right)=\underset{k=-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,x\left[ k \right]{{z}^{-k}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( bilateral \right)

Usando la definición de transformada Z, podemos hallar algunos pares de transformadas:

a) Sea x[n] = δ [n] . Su transformada es X (z) = 1. La ROC es todo el plano z.

b) Sea x [n] = u [n] - u [n - N]. Esta expresión representa una secuencia de N muestras y su transformada Z es:
x (z ) = 1 + z -1 + z-2 + …+ z2-(N-1)

Ahora bien, si usamos la definición de transformada junto con los conceptos de series finitas se obtendrá:

X\left( z \right)=\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathop \sum }}\,{{z}^{-k}}=\frac{1-{{z}^{-N}}}{1-{{z}^{-1}}}, z\ne 1,, ROC:z\ne 0

c) Sea x [n] = u [n]. Su transformada es:

X\left( z \right)=\underset{k=0}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{z}^{-k}}=\underset{k=0}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{\left( {{z}^{-1}} \right)}^{k}}=\frac{1}{1-{{z}^{-1}}}=\frac{z}{z-1} ROC:\left| z \right|>1

d) Sea x [n] = anu [n]. Su transformada es:

X\left( z \right)=\underset{k=0}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{a}^{k}}{{z}^{-k}}=\underset{k=0}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{\left( \frac{a}{z} \right)}^{k}}=\frac{1}{1-\left( {}^{a}/{}_{z} \right)}=\frac{z}{z-a} ROC:\left| z \right|>\left| a \right|

Le invitamos a consultar las propiedades de la transformada Bilateral y los ejemplos relacionados con la transformada Z Bilateral.

Transformada Z

Transformada Z Unilateral

La transformada Unilateral es muy útil cuando se analizan sistemas LTI causales. Es decir, consideramos que la función x [n] está multiplicada por u [n].

Se define como:

X\left( Z \right)=\underset{K=0}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,x\left[ k \right]{{z}^{-k}}

Puedes consultar la tabla que muestra las propiedades útiles para la solución de ecuaciones en diferencias o sistemas en donde existen funciones de transferencia dadas por la relación de su salida y entrada.

Le invitamos a revisar un ejemplo sobre la transformada Z unilateral.

Transformada Z

Polos, ceros y función de transferencia

En el dominio del tiempo, un sistema de tiempo discreto tiene una respuesta y [n] a la función impulso h [n], ante una entrada arbitraria x [n].

La función de transferencia se define como el cociente entre la salida y la entrada del sistema, en el dominio de la frecuencia. Al realizar la transformada z de la convolución entre dos señales el resultado es un producto. De ahí derivamos que:

Y\left( z \right)=X\left( z \right)H\left( z \right) o H\left( z \right)=\frac{Y\left( z \right)}{X\left( z \right)}

Donde y (z) es la salida transformada, X (z) es la entrada transformada y H (z) es la transformada de la respuesta al impulso. Un sistema LTI relajado puede ser representado de diferentes maneras, bien sea por una ecuación de diferencias, su respuesta al impulso o su función de transferencia.

Le invitamos a revisar la siguiente interactividad y los ejemplos sobre este tema.

Actividad de aprendizaje

Actividad de Aprendizaje

Le invitamos a realizar la siguiente actividad sobre conceptos por medio de MATLAB.

Resumen

En esta unidad se muestran los conceptos principales para la discretización de señales, siendo una de las etapas más importantes para el análisis de señales empleadas en sistemas de comunicaciones, procesamiento digital de señales y digitalización o procesamiento de imágenes.

Además, se definen los conceptos sobre Muestreo ideal y Teorema del muestreo para dar un enfoque fundamental de los procesos de discretización.

Le invitamos a ver la segunda parte del video de pantalla, pues da solución a la actividad de aprendizaje planteada.

Bibliografía ()

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Referencias Web